Gravitation quantique
Traduction adaptée de « Loop
quantum gravity » de Carlo Rovelli : par J. Fric qui
endosse la responsabilité des erreurs (probables) que sa
traduction pourrait contenir, en cas de doute se référer
à : C:\Users\jacques\Documents\Site_cosmosaf\IAP_web\Loop
Quantum Gravity.htm
Une
nouvelle version remaniée (2008) de cet article (non traduite)
est disponible sur le lien :
Loop Quantum Gravity
Carlo Rovelli
Department
of Physics and Astronomy
University
of Pittsburgh, Pittsburgh PA 15260, USA
rovelli@pitt.edu
http://www.pitt.edu/~rovelli
(Accepted 1 December 1997)
Résumé
1-
Introduction
2- Quel
est le problème ?
2-1 Le
point de vue d’un physicien des hautes énergies
2-2 Le
point de vue d’un relativiste
2-3
Cordes ou boucles
3-
Historique de la théorie quantique à boucles,
principales étapes
4
Références et ressources
5- Idées
principales et sources physiques
5-1
Théorie quantique des champs sur une variété
différentiable
5-2
Une hypothèse complémentaire
5-3
Signification physique de l’invariance par difféomorphisme
et son implémentation dans une théorie quantique
5-4
Problèmes non traités par la théorie
6-
Le formalisme
6-1
L’algèbre des boucles
6-2
Gravitation quantique à boucles
6-3
Etats des boucles et états des réseaux de spin
6-4
Relation entre les états des réseaux de spin et les
états des boucles et représentation sous forme de
diagramme des états
6-5
La représentation
6-6
Version algébrique (représentation « boucle »)
et version différentielle (représentation
« connexion ») du formalisme et leur
équivalence
6-7
Autres structures dans H
6-8
Invariance par difféomorphisme
6-9
Dynamique
6-10
Dégelons le formalisme temporel figé : la forme
covariante de la gravitation quantique à boucles
7-
Résultats physiques
7-1
Technique
Solutions
de la contrainte Hamiltonienne
Evolution
temporelle
Fermions
Maxwell
et Yang-Mills
Application
à d’autres théories
7-2
Physique
Quantification
de l’espace à l’échelle de Planck
Limite
classique
L’effet
Bekenstein-Mukhanov
L’entropie
des trous noirs en gravitation quantique à boucles
8-
Principaux problèmes en suspens et principales voies actuelles
d’investigation
Contrainte
Hamiltonienne
Matière
Formalisme
d’espace-temps
Trous
noirs
Comment
extraire une physique de la théorie
Limite
classique
9-
Brève synthèse et conclusion
9-1
Conclusion
10-
Remerciements
Résumé
Établir une théorie quantique du champ
gravitationnel et ainsi comprendre ce qu’est l’espace-temps
quantique est un problème non encore résolu. Une des
approches actuelles les plus actives est la gravitation quantique à
boucles. La gravitation quantique à boucles est une
quantification de la relativité générale, avec
ses couplages conventionnels de champs de matière,
mathématiquement bien définie, non perturbative, et
indépendante de la préexistence d’une trame
de fond spatio-temporelle.
La recherche en gravitation quantique à
boucles couvre un vaste domaine, des fondements mathématiques
aux applications physiques. Parmi les résultats les plus
significatifs obtenus, signalons :
-
Le calcul du spectre (discontinu) physique d’entités
géométriques comme la surface et le volume qui
permettent de faire des prévisions à l’échelle
de Planck
-
L’établissement de la formule de Bekenstein- Hawking de
l’entropie d’un trou noir.
-
Une représentation intrigante de la microstructure de
l’espace-temps quantique, caractérisée par sa
ressemblance, à l’échelle de Planck, avec celle
des polymères
Ce maillage « d’éléments
discontinus » émerge naturellement de la théorie
quantique et présente une réalisation, mathématiquement
bien définie de l’intuition de Wheeler d’une
« mousse » d’espace-temps.
Les problèmes en suspens de longue date,
comme l’absence d’un produit scalaire, la surcomplétude
de l’approche par boucle, l’implémentation
délicate de conditions physiques ont été
maintenant résolues. Le point faible reste la dynamique, où
l’approche n’est pas unifiée, et qui fait l’objet
de débats serrés. Ici, nous proposons une vue générale
des idées, des techniques des résultats et aussi des
problèmes en suspens de cette théorie, candidate à
une description de la gravitation quantique, et des références
aux publications sur le sujet.
1- Introduction
L’approche de la gravitation quantique par les
boucles a maintenant dix ans. Durant ce temps la gravitation
quantique à boucles, s’est développée,
embrassant un large champ de recherche, en une théorie
solide et bien définie, tentative de description du champ
gravitationnel quantique.
Elle offre une description de la géométrie
quantique à l’échelle de Planck, des méthodes
de calcul, des prédictions quantitatives et des outils pour
traiter de problèmes classiques comme la thermodynamique des
trous noirs.
Nous ne savons pas si cette théorie est
correcte, nous manquons de confirmations expérimentales. C’est
hélas le cas, de toutes les approches actuelles de la
gravitation quantique, dû à la petitesse de l’échelle,
à laquelle les effets quantiques de l’espace-temps sont
censés se manifester. En l’absence de confirmation
expérimentale directe, nous ne pouvons comparer ces théories
que sur leur cohérence interne et leur cohérence avec
ce que nous connaissons de la nature.
Des problèmes récurrents, comme
l’absence d’un produit scalaire, la non complétude
de l ‘approche par les boucles, la difficulté
d’identifier des états équivalents entre boucles,
la difficulté d’implémenter les conditions
réelles dans la théorie quantique, ont été
résolus de manière satisfaisante.
Mais bien que la théorie de gravitation
quantique à boucles soit plutôt bien établie,
elle n’est pas encore une théorie « complète ».
De même, sa convergence avec la Relativité Générale,
n’a pas été clairement établie
aujourd’hui. Le secteur, un peu branlant, concerne la dynamique
dont il existe plusieurs versions qui font l’objet de
discussions serrées.
Par contre, selon l’auteur, la force de la
théorie réside dans sa capacité de description
d’un espace-temps indépendant d’un cadre
préexistant, et ce d’une manière « non
perturbative » et est une authentique tentative de
synthèse des concepts quantiques et des concepts relativistes.
L’autre approche sérieuse de la
gravitation quantique est proposée par la théorie des
cordes. Cette théorie est plus ambitieuse que la gravitation
quantique à boucles, car son propos est d’unifier toute
la physique connue dans une seule théorie. Au chapitre 2.3.1
nous comparerons les forces et faiblesses de ces deux approches.
Le plan du document a été fait de
façon à rendre assez indépendants ses différents
chapitres, ceci au prix d’une certaine redondance.
Le chapitre 6, le plus technique, étant
destiné à ceux qui ont déjà de solides
connaissances en physique théorique. Il peut être
ignoré, et le reste peut être lu avec profit, par
ceux qui s’intéressent aux concepts originaux développés
dans cette théorie.
2 - Quel est le
problème ?
2-1 Le point
de vue d’un physicien des hautes énergies
La physique des hautes énergies a connu
un développement spectaculaire au vingtième siècle,
culminant avec l’établissement (par un parcours
quelquefois chaotique) de la théorie quantique des champs qui
en représente la dynamique et le large succès du
modèle standard SU(3)xSU(2)xU(1).
Ce succès, vieux de quelques décades,
nous met dans une situation assez confortable : Cette théorie
rend très bien compte des résultats expérimentaux
à notre portée. A l’exception des phénomènes
gravitationnels, pratiquement cette théorie couvre toute la
physique fondamentale.
Pour un physicien des particules, la gravitation est
simplement la dernière et la plus faible des interactions. Il
parait donc naturel d’utiliser la méthode qui s’est
révélée si fructueuse, avec les autres
interactions, pour faire l’approche de la gravitation.
L’élaboration d’une telle théorie a
commencé il y a quelques décades, et son cheminement
également parsemé de périodes d’enthousiasme
et de déception a conduit à la théorie des
cordes.
Le fondement de la théorie des cordes n’est
pas bien compris aujourd’hui, et il n’est pas
complètement clair, comment une théorie supersymétrique
en 10 ou 11 dimensions peut être concrètement
utilisée pour faire des prédictions précises et
irrévocables dans notre bas monde à 4 dimensions.
Mais la théorie des cordes peut revendiquer
un succès théorique remarquable et est aujourd’hui
le candidat le plus avancé et celui qui suscite le plus de
recherches dans le domaine de la gravitation quantique.
En théorie des cordes, la gravitation est
juste une des excitations d’une corde (ou d’un autre
objet étendu) situé dans un espace métrique de
fond. L’existence d’une telle trame de fond
d’espace-temps, sur lequel la théorie est définie,
est nécessaire pour la formulation et l’interprétation
de la théorie. Ceci est le cas, non seulement dans la version
« perturbative » de la théorie, mais
aussi si nous avons bien compris, dans les tentatives de récentes
d’une définition « non perturbative »
de la théorie comme la « théorie M ».
Pour un physicien des hautes énergies, le
problème de la gravitation quantique se ramène au
problème de la compréhension du fait suivant :
Quelle est cette théorie non perturbative
mystérieuse qui donne en approximation « perturbative »
la théorie des cordes. Et comment peut-on en extraire
l’information de la physique à l’échelle de
Planck.
2-2 Le point de vue d’un
relativiste
Pour un relativiste, penser la gravitation en termes
d’excitations physique d’objets dans un espace de fond ne
paraît pas être la bonne approche. Le credo des
relativistes est qu’il n’y a pas d’espace métrique
de fond, dans lequel la physique se déroule (sauf dans les
approximations). Le monde est plus compliqué que cela.
En fait, pour un relativiste, la Relativité
Générale est bien plus que la théorie d’un
champ d’une certaine force. C’est plutôt le fait
que certaines notions classiques d’espace et de temps sont
inadéquates au niveau fondamental : Elles exigent des
modifications qui sont peut-être aussi radicales que celles que
la mécanique quantique a introduit.
Une de ces notions inadéquates est en
particulier la notion d’espace métrique de fond (plat ou
courbe), qui sert de cadre à la physique. Ce changement
conceptuel profond, a conduit à la compréhension
de la gravitation relativiste, à la découverte des
trous noirs, à l’astrophysique relativiste et à
la cosmologie moderne.
De Newton au début du vingtième
siècle, la physique semblait solidement fondée sur un
nombre réduit de notions clés, comme le temps,
l’espace, la causalité, la matière. Malgré
une évolution significative, ces notions restaient plutôt
stables et cohérentes. Dans le premier quart du vingtième
siècle, la Mécanique Quantique et la Relativité,
ont fait voler en éclats ces conceptions.
Ces deux nouvelles théories ont connu
de nombreuses confirmations expérimentales et se sont
largement développées et nous pouvons les considérer
aujourd’hui comme une base solide de connaissance de la
physique. Chacune de ces théories, modifie notre conception
classique de la physique de manière (plus ou moins) cohérente,
mais nous n’avons pas de fondements conceptuels capables de
s’accommoder des deux théories ensembles.
C’est pourquoi nous n’avons actuellement
pas de théorie capable de prédire ce qui se passe
dans des situations où les deux théories s’appliquent
simultanément, en particulier à l’échelle
de Planck.
La Relativité Générale nous a
appris que non seulement l’espace et le temps partagent avec le
reste des autres entités physique le fait d’être
des structures dynamiques, mais aussi et de façon plus
cruciale, qu’une localisation dans l’espace-temps ne peut
être que relationnelle.
La Mécanique Quantique nous a appris que
toute entité dynamique est soumise à la relation
d’incertitude d’Heisenberg, à petite échelle.
Donc nous avons besoin d’une notion relationnelle
d’espace-temps quantique pour comprendre la physique à
l’échelle de Planck.
Alors pour un relativiste, le problème de la
gravitation quantique va le conduire à révolutionner
nos concepts encore plus en profondeur, comme la mécanique
quantique et la relativité générale ont commencé
à le faire, pour aboutir à une nouvelle synthèse.
Dans cette synthèse les notions de d’espace
et de temps auront besoin d’être sérieusement
remodelées pour prendre en compte les acquis de nos deux
théories fondamentales actuelles.
A la différence de la théorie des
cordes, dans ses versions perturbatives ou non, la gravitation
quantique à boucles est formulée sans espace de fond
qui servirait de cadre. La gravitation quantique a boucles est une
authentique tentative de saisir ce que l’espace-temps
quantique est, au niveau fondamental.
En conséquence, la notion
d’espace-temps qui en découle est très différente
de celle des théories conventionnelles quantiques des champs
et de la théorie des cordes.
2-3 Cordes ou
boucles ?
Nous avons décrit les cheminements
intellectuels radicalement différents qui ont conduit à
la théorie de cordes et à la gravitation quantique à
boucles.
Ici, nous allons essayer de comparer l’avancement
des deux théories.
Rappelons que ces théories sont des
tentatives, et ceci sans vouloir faire préjudice aux
physiciens qui y travaillent. Il se peut qu’une d’entre
elle ou les deux se révèlent complètement
incorrectes. En cela, nous n’entendons pas qu’elles
pourraient être englobées dans une théorie plus
vaste, mais plus prosaïquement que toutes leurs prédictions
particulières pourraient être désavouées
par l’expérience. La nature ne partage pas toujours nos
soucis esthétiques comme l’histoire nous l’a
enseigné.
Les arbitres de la science sont les expériences,
et aujourd’hui, aucune expérience ne valide directement
ou indirectement, une quelconque théorie qui va au-delà
du modèle standard et de la relativité générale.
Au contraire, des prédictions faites par des théories
qui vont au-delà du modèle standard et de la relativité
générale (désintégration du proton,
particule super-symétriques, particules exotiques, dynamique
du système solaire) ont été infirmées
aujourd’hui par les expériences menées.
La comparaison de ces théories, au modèle
standard et à la relativité qui ont connu et
connaissent un immense succès au niveau expérimental,
nous incite à être circonspect, et nous pensons qu’il
n’est possible, pour le moment, de comparer ces nouvelles
théories que sur leur cohérence interne, leur
complétude et autres critères esthétiques, dont
la valeur objective n’est pas certaine (rappelons-nous la
comparaison Ptolémée- Copernic).
Le mérite principal de la théorie des
cordes est qu’elle nous propose une unification superbe et
élégante de toute la physique fondamentale
connue, et que l’approximation perturbative est bien définie
à tous les ordres. Sa faiblesse est son incomplétude,
car le régime non perturbatif qui sous-tend le régime
perturbatif est très mal compris, et il n’y a pas de
formulation indépendante d’un espace de fond, lui
servant de cadre, de la théorie.
En fait nous ne savons pas de quoi la théorie
parle vraiment. Du fait de la connaissance insuffisante du régime
non perturbatif, la physique à l’échelle de
Planck, et les phénomènes de gravitation quantique ne
sont pas facile à contrôler.
Sauf pour quelques calculs, la théorie des
cordes n’a pas prédit grand-chose en physique à
l’échelle de Planck. Cependant notons deux résultats
physiques remarquables.
Le premier concerne des amplitudes de diffusion à
très haute énergie. Une conséquence intrigante
de ces résultats est qu’ils suggèrent
indirectement que la géométrie sous l’échelle
de Planck ne peut pas être testée, et d’une
certaine manière n’existe pas en théorie des
cordes.
Le second, dû à la deuxième
version de la théorie consécutive aux d-branes,
est l’établissement formel de la formule (de
Bekenstein-Hawking) de l’entropie de certains trous noirs.
Le mérite principal de la gravitation
quantique à boucles, est qu’elle propose une formulation
mathématique rigoureuse et bien définie d’une
théorie quantique des champs, indépendante d’un
espace de fond, non perturbative, généralement
covariante.
Cette théorie propose une description
physique et des prédictions quantitatives du monde à
l’échelle de Planck.
La principale faiblesse de la
théorie concerne la dynamique, qui possède plusieurs
formulations différentes.
La théorie a permis d’obtenir deux
résultats en physique.
Le premier concerne l’établissement à
l’échelle de Planck des valeurs propres de grandeurs
géométriques telles que les aires et les volumes.
La seconde est le calcul de l’entropie des
trous noirs normaux (du moins à l’ordre de grandeur cf
chapitre 7.2)
Finalement, les cordes et la gravitation à
boucles, ne sont pas forcément incompatibles. Elles peuvent
être d’une certaine manière, complémentaires,
ne serait-ce qu’au niveau méthodologique. En particulier
les problèmes en suspens dans la théorie des cordes
sont au niveau d’une formulation indépendante d’un
fond servant de cadre, et la gravitation quantique à boucles
est précisément un ensemble de techniques qui
permettent de définir une théorie de façon non
perturbative indépendante d’un espace-temps de
fond. Peut-être que les deux théories peuvent converger,
du moins jusqu’à un certain point.
Il y a des similitudes manifestes entre les deux
théories :
D’abord le fait évident que les deux
théories partent du principe, que les excitations pertinentes
à l’échelle de Planck, sont des objets
unidimensionnels, qu’on les appelle cordes ou boucles. Nous
avons également cru comprendre que dans un autre « living
review » qui sera publié dans ce magazine, Lee
Smolin explore les relations possibles entre les théories des
cordes et des boucles.
3 -
Historique de la théorie quantique à boucles,
principales étapes
La chronologie qui suit ne prétend pas citer
exhaustivement, toutes les publications sur la gravitation quantique
à boucles. On indique principalement les étapes clés
dans la construction de la théorie. Pour plus de références
voir les chapitres suivants (ayant regroupé par thème,
pour certaines choses l’ordre chronologique parait un peu
bousculé)
1986
Formulation de la
connexion de la relativité générale.
Sen,
Ashtekar.
La gravitation quantique
à boucles est fondée sur la formulation de la
relativité générale, avec ce qu’on a
appelé « nouvelles variables » ou
« variables d’Ashtekar » ou
« connexion-dynamique », (par opposition à
la « géométro-dynamique » de
Wheeler).
Dans cette formulation, la variable de champ est une
connexion autoduale, au lieu de la métrique, et les
contraintes canoniques sont plus simples que dans la formulation de
l’ancienne métrique. L’idée d’utiliser
une connexion auto duale comme variable de champ, et la
contrainte simple associée, est due à Amitaba Sen [190
].
Abhay Ashtekar réalisa que dans l’espace des phases
étendu de SU(2) une connexion auto duale et un champ de
densité de triades formait une paire canonique [7
,
8]
et il établit le formalisme canonique fondée sur une
telle paire, ce qui est le formalisme d’ Ashtekar. Des travaux
récents sur la représentation des boucles ne sont pas
fondés sur la connexion originale de Sen-Ashtekar mais sur une
variante réelle, dont l’utilisation a été
introduite dans la relativité générale
lorentzienne par Barbero [39
,
40
,
41
,
42
].
1986
Boucles de Wilson
solutions de la contrainte hamiltonienne.
Jacobson, Smolin.
Peu après l’introduction des variables classiques
d’Ashtekar, Ted Jacobson et Lee Smolin réalisèrent
dans [128]
que l’équation de Wheeler-DeWitt, reformulée en
termes des nouvelles variables, admet une classe simple de solutions
exactes, les traces des holonomies de la connexion d’Ashtekar
autour de boucles régulières qui ne se recoupent pas
elles-mêmes. Autrement dit : les boucles de Wilson de la
connexion d’Ashtekar sont solutions de l’équation
de Wheeler-DeWitt, si les boucles sont régulières et ne
se recoupent pas elles-mêmes.
1987
La représentation
de la boucle.
Rovelli, Smolin.
La découverte des solutions de boucles de Jacobson-Smolin
Wilson incita Carlo Rovelli et Lee Smolin [182,
163,
183
,
184
]
à ``changer la base dans l’espace de Hilbert de la
théorie “ en choisissant les boucles de Wilson comme les
nouveaux états de base pour la gravitation quantique.
Les états
quantiques peuvent être représentés en termes de
leur description sur la base de boucles, c’est-à-dire
comme fonction d’un espace de boucles.
Cette idée est bien connue dans le contexte de la
théorie en treillis canonique de Yang-Mills [211],
et son application à la théorie continue de Yang-Mills
a été explorée par Gambini
and Trias [95
,
96
],
qui ont développé une « représentation
par boucles » continue , bien avant celle de
Rovelli-Smolin. Les difficultés de représentation par
boucles dans le contexte de la théorie de Yang-Mills
sont évacuées par l’invariance par
difféomorphisme de la RG (voir chapitre 6.8
pour les détails). La représentation par boucles a été
introduite par Rovelli et Smolin comme une représentation
d’une algèbre de Poisson classique des observables
« boucles ». La relation à la
représentation par la connexion, fut originellement établie
sous la forme d’une transformée intégrale
(quelque chose de similaire à une transformée de
Fourier à un nombre infini de dimensions) de fonctionnelles de
la connexion en fonctionnelles de boucles. Plusieurs années
plus tard, on a démontré que cette transformée
de boucles était mathématiquement rigoureusement
définie [12
].
Les résultats immédiats de la représentation par
boucles sont au nombre de deux :
La contrainte liée au difféomorphisme a été
complètement résolue par les états des nœuds
(des fonctionnelles de boucles qui ne dépendent que du nouage
des boucles), ceci concrétisant les suggestions préliminaires
de Smolin, sur le rôle des nœuds en gravitation quantique
[195] ;
Et; (voir [184
,
196
])
les états des nœuds, relatifs aux boucles qui ne se
recoupent pas elles-mêmes, sont des solutions de toutes les
contraintes quantiques ( cela a été prouvé),
c’est-à-dire, des états physiques exacts de la
gravitation quantique.
1988 -
États exacts
de la gravitation quantique
Husain,
Brügmann, Pullin, Gambini, Kodama.
L’investigation de solutions exactes des équations des
contraintes quantiques et leur relation avec la théorie des
noeuds (en particulier avec les invariants polynomiaux de Jones et de
la théorie des noeuds) a commencé peu après la
formulation de la théorie et a continué depuis [112
,
56
,
57
,
58
,
59
,
156
,
92
,
94
,
131
,
89].
1989 -
Modèles
théoriques
Ashtekar, Husain,
Loll, Marolf, Rovelli, Samuel, Smolin, Lewandowski, Marolf, Thiemann.
Les années qui ont immédiatement suivi la
découverte du formalisme des boucles ont été
consacrées principalement à la compréhension de
la représentation par boucles en l’étudiant dans
des contextes plus simples tels que, relativité
générale à 2+1 D [13
,
146
,
20
],
Maxwell [21
],
gravitation linéarisée [22]
et, bien plus tard, la théorie de Yang-Mills en 2D [19].
1992
Limite classique :
tissages
Ashtekar,
Rovelli, Smolin.
La première indication de prédiction de la
quantification à l’échelle de Planck est venue de
l’étude des états qui approximent des géométries
plates à grande échelle [23
].
Ces états nommés tissages, ont une structure de type
polymère à petite échelle, et peuvent être
vus comme la formalisation de la « mousse d’espace-temps »
de Wheeler.
1992
Cadre algébrique
Ashtekar, Isham.
Dans [12
],
Abhay Ashtekar et Chris Isham montrèrent qu’on peut
mathématiquement rigoureusement fonder la transformée
de boucles introduite en gravitation par Rovelli et Smolin, et ils
établirent une base pour une systématisation des
idées de boucles, fondée sur les idées de
l’algèbre
1993
Les Gravitons vus
comme des « broderies » sur le tissage
Iwasaki, Rovelli.
Dans [125
]
Junichi Iwasaki et Rovelli étudièrent la représentation
des gravitons dans la gravitation quantique à boucles Ils se
comportent comme des modifications topologiques du matériau
constituant le tissage de l’espace-temps.
1993
Versions alternatives
Di Bartolo,
Gambini, Griego, Pullin.
Quelques versions alternatives de la gravitation quantique à
boucles ``orthodoxe'' ont été développées.
En particulier les auteurs cités ci-dessus ont développé
ce qu’on a appelé la représentation des boucles
« étendue » voir [80
,
78
].
1994
Fermions,
Morales-Tecotl,
Rovelli.
L’étude du couplage avec la matière débuta
en [150
,
151
].
Plus tard la cinématique de la matière fut étudiée
par Baez and Krasnov [133
,
35
],
tandis que Thiemann étendait ses résultats
à la dynamique du système couplé de Einstein
Yang-Mills [200
].
1994
La mesure dµ0
et le produit scalaire
Ashtekar,
Lewandowski, Baez.
Dans [14
,
15
,
16
]
Ashtekar et Lewandowski posèrent les bases de la formulation
différentielle de la gravitation quantique à boucles en
construisant ses deux ingrédients “clé” :
Une mesure invariante
par difféomorphisme sur l’espace des connexions
(généralisées), et la famille projective des
espaces de Hilbert associés à des graphes.
En utilisant ces
techniques ils purent rigoureusement et mathématiquement
construire l’espace des états de la théorie,
résolvant ainsi le problème en souffrance, lié à
l’absence de base. (Une carence sur les critères
d’identités algébriques entre les états de
boucles)
En l’utilisant, ils définirent un produit scalaire
cohérent et prouvèrent que les opérateurs
quantiques de la théorie étaient cohérents avec
toutes les identités. John Baez montra comment la mesure peut
être utilisée dans le contexte de connexions
conventionnelles, l’étendit à des états
non invariant de jauge (permettant la définition de
l’opérateur E) et développa l’utilisation
des techniques de graphes [24,
28, 27
].
D’Importantes contributions à la compréhension de
la mesure fut aussi données par Marolf and
Mourão [149
].
1994
Quantification des aires et des volumes (valeurs propres)
Rovelli, Smolin.
Selon l’auteur, le
résultat le plus important de la gravitation quantique à
boucles est la découverte que certaines grandeurs
géométriques, en particulier les aires et les volumes,
sont représentées par des opérateurs qui ont des
valeurs propres disjointes. Ceci fut trouvé par Rovelli et
Smolin dans [186
],
où le premier jeu de valeurs propres fut calculé. Peu
de temps après, ce résultat fut confirmé et
généralisé par divers auteurs utilisant des
techniques très diverses. En particulier, Renate Loll
[142
,
143
]
utilisa la technique des treillis pour analyser l’opérateur
de volume et corrigea des erreurs numériques dans [186
].
Ashtekar et Lewandowski [138
,
17
]
retrouvèrent et finirent le calcul du spectre des aires en
utilisant la représentation par connexion et de nouvelles
techniques de régularisation. Frittelli, Lehner et
Rovelli [84
]
retrouvèrent les termes du spectre des aires de
Ashtekar-Lewandowski en utilisant la représentation par
boucles
DePietri and Rovelli [77
]
calculèrent les valeurs propres générales du
volume. La compréhension précise des relations entre
les différentes versions de l’opérateur de volume
est due aux travaux de Lewandowski [139
].
1995
Réseaux de Spin - solution au problème de la
surcomplétude. Rovelli, Smolin, Baez.
Un
problème depuis longtemps en souffrance avec la base de
boucles était sa surcomplétude. Une étape
technique mais cruciale, dans la compréhension de la théorie
a été la découverte de la base de « réseaux
de spin », qui résout cette surcomplétude.
Ce pas a été franchi par Rovelli et Smolin dans [187
]
et fut inspiré par les travaux de Roger Penrose
[153
,
152
],
par des bases analogues utilisées dans des théories de
jauge en treillis et par les idées de Lewandowski [137
].
Peu après, le formalisme de réseau de spin a été
épuré et clarifié par John Baez
[31
,
32
].
Après l’introduction de la base réseaux de spin,
tous les problèmes provenant de l’incomplétude de
la base de boucles ont été trivialement résolus,
et le produit scalaire a pu aussi être défini
algébriquement. [77
].
1995
Treillis
Loll,
Reisenberger, Gambini, Pullin.
Différentes versions en treillis de la théorie sont
apparues dans [141
,
159
,
94
,
79
].
1995
Formalisme algébrique
/ Formalisme différentiel
DePietri, Rovelli
/ Ashtekar, Lewandowski, Marolf, Mourão, Thiemann.
La mise au propre et l’établissement des deux
versions principales des formalismes fut terminé dans [77
]
pour le formalisme algébrique (le descendant direct de
l’ancienne représentation par boucles); et dans [18
]
pour le formalisme différentiel ( basé sur la
construction algébrique
de
Ashtekar-Isham, sur la mesure de Ashtekar-Lewandowski, sur les
travaux de Don Marolf sur l’utilisation de l’intégration
de groupe formel pour résoudre les contraintes [145
,
147
,
148
],
et sur plusieurs idées mathématiques de José
Mourão).
1996
Equivalence des
formalismes algébriques et différentiels :
DePietri.
Dans [76
],
Roberto DePietri prouva l’équivalence des deux
formalismes, en utilisant des idées de Thiemann [205]
et Lewandowski [139
].
1996
Contrainte
Hamiltonienne
Thiemann.
La première version de
la contrainte de boucle hamiltonienne est décrite dans [183
,
184
].
La définition de la contrainte a été étudiée
et constamment modifiée, dans une longue suite de travaux par
Brügmann, Pullin, Blencowe, Borissov et quelques
autres [112,
47, 59,
57
,
56
,
58
,
156
,
92, 48
].
Un pas important a été fait par Rovelli et Smolin en
[185]
en réalisant que certains opérateurs de boucles
régularisés ont des limites finies sur les états
des noeuds (voir [140
]).
La recherche culmina avec les travaux de Thomas Thiemann, qui fut
capable de construire un opérateur hamiltonien plutôt
bien défini, dont l’algèbre des contraintes est
fermée. [206
,
201
,
202
].
Des variantes de cette contrainte ont été suggérées
dans [192
,
160
]
et ailleurs.
1996
Théorie
Réelle : Solution du problème des conditions
réelles. Barbero, Thiemann.
Ainsi que souvent souligné par Karel Kuchar, l’implémentation
de la condition compliquée de réalité de la
connexion complexe dans la théorie quantique était
jusqu’à 1996, le principal problème en
suspens dans l’approche par boucles.
En
suivant les indications avancées par Fernando Barbero [39,
40
,
41,
42],
en particulier d’utiliser la connexion réelle dans la
théorie Lorentzienne, Thiemann trouva une façon
élégante de contourner le problème.
1996
Entropie d’un
trou noir
Krasnov, Rovelli.
L’établissement de la formule de Bekenstein-Hawking pour
l’entropie d’un trou noir de la gravitation quantique à
boucles fut réalisé dans [176
],
sur la base des idées de Kirill Krasnov [134
,
135
].
Récemment, Ashtekar, Baez, Corichi and Krasnov
ont annoncé qu’ils l’avaient établi par une
autre méthode [11
].
1997
Anomalies
Lewandowski,
Marolf, Pullin, Gambini.
Ces auteurs ont achevé récemment une analyse en
profondeur du problème de la fermeture de l’algèbre
de la contrainte quantique et de son origine depuis l’algèbre
de Poisson classique correspondante. [140
,
90
],
poursuivant un travail préliminaire de Brügmann,
Pullin, Borissov et quelques autres [54,
60,
88,
50].
Cette analyse a soulevé quelques doutes sur la convergence de
la limite classique de l’opérateur hamiltonien de
Thiemann avec la Relativité Générale, mais le
sujet est toujours en discussion.
1997
Sommes sur les
surfaces
Reisenberger
Rovelli.
Une « somme sur les histoires » formulation
spatio-temporelle de la gravitation quantique à boucles fut
établie dans [181
,
160
]
à partir de la théorie canonique. La théorie
covariante résultante se révèle être une
somme sur sur des surfaces topologiquement inéquivalentes,
conformément à des remarques précédentes
de Baez [26
,
27, 31
,
25],
Reisenberger [159
,
158
]
et Iwasaki [124
]
qui supputèrent qu’une version covariante de la
gravitation à boucles devrait ressembler à une théorie
des surfaces. Baez a étudié la
structure générale de théories définies
de cette manière [33
].
Smolin et Markoupolou ont
exploré l’extension à la construction du cas
Lorentzien, et la possibilité de modifier les règles
d’évolution du réseau de spin. [144
].
4
- Références et Ressources
·
Pour trouver de l’information sur ce sujet consulter
``Bibliography of Publications Related to Classical and Quantum
Gravity in terms of Connection and Loop Variables'', qui est
très complète et classée chronologiquement.
·
La version originale fut compilée par Peter Hübner
en 1989.Elle a été sérieusement mise à
jour par Gabriella Gonzales, Bernd Brügmann, Monica Pierri et
Troy Shiling. Actuellement est tenue à jour par
Christopher Beetle et Alejandro Corichi. La dernière version
sur le net est en [44].
·
Cette ``living review'' peut être considérée
comme une introduction mise à jour, à la gravitation
quantique dans le formalisme à boucles. Des présentations
plus détaillées mais moins à jour sont listés
ci-dessous.
o
Ashtekar's book [9
]
peut servir de cours introductif, sérieux, sur les variables
d’ Ashtekar particulièrement pour relativistes et
mathématiciens. La partie du livre sur la représentation
par boucles, est essentiellement une reprise autorisée de
parties de l’article original de Rovelli Smolin [184
].
Pour cette partie quantique, nous recommandons l’article de
préférence au livre car il est plus complet. Une
introduction très directe et plus simple aux variables
d’Ashtekar variables et les idées de base sur les
boucles peuvent être trouvées dans le Rovelli's
review paper [164
].
Ceci est plus destiné au lecteur physicien de formation.
o
Une introduction générale récente aux nouvelles
variables qui inclut plusieurs développements mathématiques
récents de la théorie quantique est disponible dans
Ashtekar's Les Houches 1992 lectures [10].
o
Un recueil de publications particulièrement intéressant
est disponible dans the volume [29]
édité par John Baez. L’autre livre par
Baez, et Muniain [36],est
une introduction simple et agréable à différentes
idées et techniques utilisées dans ce domaine.
o
Le dernier livre, le plus à jour sur la représentation
par boucles est le livre de Gambini and Pullin [93],
particulièrement documenté dans la technique des
treillis et dans la variante de la gravitation quantique à
boucles appelée ``extended loop representation'' [80,
78]
(qui n’est plus d’actualité aujourd’hui,
mais reste une alternative intrigante à la gravitation
quantique à boucles « orthodoxe ») Les
deux références standard pour une présentation
complète des fondements de la théorie sont :
DePietri and Rovelli [77
]
pour la formulation algébrique et Ashtekar, Lewandowski,
Marolf, Mourao et Thiemann [18
]
pour la formulation différentielle.
·
En plus des nombreuses conférences sur la gravitation, la
communauté impliquée dans la gravitation quantique
s’est réunie deux fois à Varsovie, pour les
``Workshop on Canonical and Quantum Gravity''. Nous espérons
que ces conférences se tiendront régulièrement.
Ceci est sans doute l’endroit idéal, pour s’informer
sur ce qui se fait dans ce domaine. Pour un compte rendu informel de
la dernière session (août 1997), voir [161].
·
Entre autres, la gravitation quantique à boucles est étudiée
dans les institutions suivantes:
o
Le ``Center for Gravity
and Geometry'' à Penn State
University, USA. Je recommande leur excellente page web
[157],
tenue à jour par Jorge Pullin, qui vous permettra
de trouver tout ce que vous cherchez sur le web.
o
Pittsburgh University,
USA [100].
o
University of California at Riverside,
USA. John Baez est le modérateur d’un excellent
forum, sci.physics.research, traitant du domaine, voir [34].
o
Albert Einstein Institute,
Potsdam, Berlin, Europe [117].
o
Warsaw University,
Warsaw, Europe.
o
Imperial College,
London, Europe [67].
o
Syracuse University,
USA [208].
o
Montevideo University,
Uruguay.
5 - Idées principales et
sources physiques
La gravitation quantique à boucles s’appuie
uniquement sur la Relativité Générale et la
mécanique quantique. Autrement dit, la théorie est
plutôt économe de ses hypothèses : c’est
la quantification de la Relativité Générale,
avec ses couplages matériels. En cela elle est très
différente de la théorie des cordes, qui est fondée
sur une hypothèse physique très forte qui n’a pas
de soutien expérimental direct (Le monde est constitué
de cordes).
Bien sûr la quantification est loin d’être
un algorithme univoque, particulièrement dans une théorie
des champs non linéaire.
C’est plutôt un problème inverse
mal compris (trouver une théorie quantique avec une limite
classique donnée). Des choix plus ou moins subtils sont, dans
la théorie quantique et c’est ce qui est exposé
ci- dessous.
5.1
Théorie quantique des champs sur une variété
différentiable
L’idée force, de la gravitation
quantique à boucles, est de considérer la relativité
générale comme essentielle. La relativité
générale nous a appris que la métrique de
l’espace-temps et le champ gravitationnel sont physiquement
équivalents. Donc une théorie quantique de la
gravitation, sera une théorie quantique de l’espace-temps.
Il s’ensuit, que la gravitation quantique ne
peut pas être formulée comme une théorie
quantique d’un champ dans un espace-temps métrique
(comme c’est le cas, pour le modèle standard), car il
n’y a pas de variété métrique (classique)
quelle qu’elle soit, dans une situation où la
gravitation (et donc la métrique) serait une variable
quantique.
On pourrait conventionnellement, séparer
l’espace-temps en deux, une partie serait une trame de fond,
qui donne la structure métrique de l’espace-temps,
l’autre pourrait représenter les fluctuations du champ
quantique. C’est ainsi que l’ancienne théorie
perturbative de la gravitation quantique, le théorie
perturbative des cordes et la théorie non perturbative
actuelle (M Théorie) sont construites. Ce faisant, on stipule,
par exemple, que la structure causale de l’espace-temps est
déterminée par la trame de fond spatio-temporelle
sous-jacente, et pas par la métrique complète. A
l’inverse en gravitation quantique à boucles, nous
stipulons que l’identité totale entre la métrique
complète et la structure causale de l’espace-temps,
comme en relativité générale, est toujours
valide, y compris à l’échelle de Planck.
L’espace-temps garde ainsi son caractère monolithique.
Nous pouvons toujours décrire l’espace-temps
comme une variété différentiable (un espace sans
structure métrique), sur lequel des champs quantiques sont
définis. Une structure métrique classique sera définie
par les valeurs escomptées de l’opérateur du
champ gravitationnel.
Alors, le problème de le la gravitation
quantique se ramène à comprendre ce qu’est une
théorie quantique des champs sur une variété
(non pourvue d’une métrique), à la différence
d’une théorie quantique des champs sur un espace
métrique.
C’est ce qui donne à la gravitation
quantique son parfum si particulier, si différent de celui des
théories quantiques des champs habituelles. Dans toutes les
théories quantiques habituelles des champs, la métrique
de l’espace-temps joue un rôle essentiel, dans la
construction des outils théoriques de base (opérateurs
de création et d’annihilation, relations canoniques de
commutations, mesures gaussiennes, propagateurs…), ces outils
ne peuvent pas être utilisés, en champ quantique, sur
une variété (non pourvue d’une métrique).
Techniquement, en gravitation quantique à boucles, on surmonte
le problème d’absence d’une métrique de
fond, en définissant la théorie quantique comme une
représentation d’une algèbre de Poisson
d’observables classiques qui peuvent être définies
sans avoir à utiliser une métrique. L’idée
que l’algèbre quantique à associer à la
gravitation quantique, n’est pas l’algèbre de la
relation de commutation canonique, mais l’algèbre de
Poisson de différents ensembles d’observables, a été
depuis longtemps défendue par Chris Isham [118],
dont les idées ont largement influencé, la genèse
de la gravitation quantique à boucles..
L’algèbre
de la gravitation quantique à boucles est l’algèbre
des boucles [184
].
Le choix particulier de cette algèbre, n’est pas sans
poser de problèmes, comme nous le verrons plus loin.
5.2 Une hypothèse
supplémentaire
En choisissant l’algèbre de boucles
comme base pour la quantification, nous supposons implicitement que
les opérateurs de boucles de Wilson sont bien définis
dans l’espace de Hilbert associé à la théorie,
autrement dit que certains états, concentrés sur
des structures unidimensionnelles (boucles et graphes) ont une norme
bornée. Ceci est une hypothèse subtile et non triviale
de la théorie.
C’est l’hypothèse clé, qui
caractérise la gravitation à boucles. Si cette approche
se révèle incorrecte, ce sera probablement parce que
cette hypothèse est fausse. L’espace de Hilbert
résultant de cette hypothèse n’est pas un espace
de Fock.
Physiquement, cette hypothèse correspond à
l’idée que les états quantiques peuvent être
décomposés sur une base d’excitations de «
lignes de Faraday » (comme les états de la
QFT en espace de Minkowski peuvent être décomposés
en une base de particules, qui sont les quanta d’excitation du
champ).
De plus, cette hypothèse
n’est pas vérifiée en théorie
conventionnelle des champs, car dans ce contexte, les opérateurs
bien définis et les états à norme bornée
doivent se répartir au moins dans trois dimensions, les objets
unidimensionnels étant trop singuliers.
Le fait que la gravitation quantique à
boucles s’appuie sur une hypothèse mathématique,
non valide, dans les théories quantiques des champs de
Yang-Mills est probablement à l’origine de l’aversion
que certains théoriciens des hautes énergies
nourrissent à l’égard de la théorie
quantique à boucles.
Ce qui distingue la gravitation des théories
de Yang-Mills, cependant et rend cette hypothèse viable en en
gravitation, même si ce n’est pas le cas dans les
théories de Yang-Mills est l’invariance par
difféomorphisme.
Les états de boucles sont des états
singuliers qui balaient un « énorme »
espace non séparable des états. L’invariance par
difféomorphisme (non-perturbative), joue deux rôles.
D’abord, il élimine la redondance
infinie, ensuite il associe un état de boucle à un état
de nœud, ainsi les états physiques ne sont plus
réellement concentrés sur une dimension, mais sont,
d’une certaine manière, projetés et répartis
sur la variété entière par les difféomorphismes
non perturbatifs. Ceci sera explicité dans le chapitre
suivant.
5.3
Signification physique de l’invariance par
difféomorphisme, et son implémentation dans une théorie
quantique
Les théories conventionnelles ne sont pas
invariantes par un difféomorphisme appliqué aux champs
dynamiques. (Remarquons cependant que toute théorie des
champs, convenablement formulée, est trivialement invariante
par un difféomorphisme s’il est appliqué à
chaque chose, mais ce pas ce dont on parle ici). La Relativité
Générale, au contraire est invariante, sous de telles
transformations
Plus précisément, toute théorie
relativiste, partage cette propriété. Donc l’invariance
par difféomorphisme, n’est pas que la propriété
du champ gravitationnel, c’est une propriété de
la physique, une fois qu’on a pris en compte l’existence
de la gravitation relativiste. Donc, on peut dire que le champ
gravitationnel n’est pas particulièrement singulier sous
cet aspect, mais que l’invariance par difféomorphisme
est une propriété du monde physique, qui ne peut être
écartée sauf dans l’approximation où la
dynamique de la gravitation peut être négligée.
Quelle est cette propriété ? Quel est le sens
physique de l’invariance par difféomorphisme?
L’invariance par difféomorphisme
correspond à l’implémentation technique d’une
idée physique due à Einstein. Cette idée
introduit une modification profonde des notions pré-relativistes
de temps et d’espace. En physique non relativiste, on stipule
que les objets physiques peuvent être localisés dans
l’espace et le temps, ceux-ci sont définis comme une
trame de fond par une structure non dynamique. Opérationnellement,
cette trame d’espace-temps peut être définie par
des systèmes d’objets physiques de référence,
objets considérés physiquement dynamiquement découplés
du système physique étudié. Ce concept n’est
plus valide, lorsqu’on s’intéresse à la
gravitation dans le cadre relativiste. En physique de la relativité
générale, les objets physiques ne sont localisés
dans l’espace et le temps que les uns par rapport aux autres.
En conséquence, si nous déplaçons tous les
objets dynamiques, ensembles, dans l’espace-temps, nous ne
générons pas un nouvel état différent,
mais une description mathématique équivalente du même
état physique. C’est cela, l’invariance par
difféomorphisme.
En conséquence, un état physique en RG n’est pas
localisé quelque part [180
,
169
,
177]
(sauf si une jauge appropriée est fixée). De façon
imagée, la RG n’est pas de la physique qui se déroule
sur une scène, c’est la théorie dynamique de (ou
qui inclut) la scène.
La gravitation quantique à boucles est une
tentative d’implémentation de cette subtile notion
relationnelle de localisation dans l’espace-temps dans une
théorie quantique des champs. En particulier les excitations
théoriques de base du champ quantique ne sont pas localisées
quelque part (localisées par rapport à quoi ?),
comme, disons, le sont les photons. Ce sont les excitations
quantiques de la « scène » elle-même,
pas des excitations sur une scène. Intuitivement, suite à
cette discussion, nous pouvons maintenant comprendre pourquoi et
comment la théorie des nœuds joue un rôle dans
cette théorie.
D’abord, nous définissons des états
quantiques qui correspondent à des excitations de type
boucles, du champ gravitationnel, puis en appliquant l’invariance
par difféomorphisme, la localisation des boucles est évacuée
et devient alors non pertinente. La seule information qui reste
contenue dans la boucle est son « type de nœud »
(un nœud est une boucle non localisée). Alors les états
physiques invariants par difféomorphisme sont étiquetés
par des nœuds. Un nœud représente une excitation
quantique élémentaire de l’espace. Il n’est
pas ici ou là, car il est l’espace par rapport au quel,
ici ou là sont définis. Un nœud est un quantum
élémentaire d’espace.
Réseau de spin et quanta d’espace qu’il
décrit
De cette manière, la gravitation quantique à
boucles, lie la nouvelle notion d’espace et de temps introduite
par la relativité générale avec la mécanique
quantique. Comme nous l’illustrerons plus loin, l’existence
de tels quanta élémentaires d’espace est
concrétisée par la quantification du spectre d’entités
géométriques.
5.4
Problèmes non traités par la théorie
Cela fait environ soixante-dix ans, qu’on
s’intéresse de plus ou moins près, à la
gravitation quantique. Quand on s’intéresse à
deux problèmes de fond, on est tenté de penser qu’ils
sont liés. Dans l’histoire de la physique, nous trouvons
des exemples frappants d’unification de la sorte (l’unification
de l’électricité, du magnétisme et la
nature de la lumière, par exemple); mais a contrario, d’autres
tentatives ont échoué (trouver une théorie
de l’interaction forte et se débarrasser des infinis des
théories quantique des champs, par exemple). On a demandé,
à un moment ou à un autre, à la
gravitation quantique de résoudre pratiquement tous les
problèmes fondamentaux en physique théorique (et voire
au-delà). Citons une liste de problèmes qu’on a
demandé à la gravitation quantique de traiter, dans le
passé, et sur lesquels, la gravitation quantique à
boucles ne peut pas nous dire grand-chose.
Interprétation de la mécanique
quantique.
La gravitation quantique à boucles est une théorie
quantique standard des champs. Prenez donc votre interprétation
préférée de la mécanique quantique et
utilisez là pour interpréter les aspects quantiques de
la théorie. Je me référerai à de telles
interprétations plus avant : quand nous présenterons
la quantification des aires et volumes, j’utiliserai les
relations entre les valeurs propres et les valeurs mesurées
par des appareils physiques classiques ; quand je parlerai de
l’évolution je me référerai à
l’interprétation des histoires. La manière
particulière de décrire l’évolution dans
le temps en théorie de la relativité générale
peut nécessiter quelques variantes des interprétations
standard, tels que la théorie quantique canonique généralisée
[166,
168
,
165]
ou la mécanique quantique généralisée de
Hartle [103
].
Mais la gravitation quantique à boucles ne peut être
d’aucun secours pour les scientifiques qui pensent que la
gravitation quantique va résoudre le problème de la
mesure. D’autre part, la formulation d’espace-temps de la
gravitation quantique qui a été développée
récemment (voir chapitre 6.10)
est naturellement interprétée en termes
d’interprétation des histoires. [103
,
119
,
120
,
123
,
122
].
En fait, je pense que la solution du problème de
l’interprétation de la mécanique quantique
devrait faire appel à des idées relationnelles liées
à la nature relationnelle de l’espace-temps révélée
par la relativité générale. [179,
180].
Cosmologie quantique.
Une confusion qui est souvent faite est celle entre la gravitation
quantique et la cosmologie quantique. La cosmologie quantique est la
théorie de l’univers en tant qu’unique système
quantique, sans observateur extérieur. [102]:
La gravitation n’a rien à voir, là-dedans. La
gravitation quantique est la théorie d’une entité
dynamique, le champ gravitationnel quantique (ou la métrique
de l’espace-temps), c'est-à-dire juste un champ parmi
d’autres. Plus précisément, comme pour la théorie
de l’électrodynamique, nous pouvons toujours supposer
que nous avons un observateur classique avec ses appareils de mesure
classiques mesurant les phénomènes gravitationnels, et
donc étudiant la gravitation quantique indépendamment
de la cosmologie quantique. Par exemple la physique d’un petit
cube de la taille de Planck est régi par la gravitation
quantique, et n’a probablement aucune implications en
cosmologie quantique.
Unification de toutes les interactions
ou ``Théorie
du Tout. Une critique classique à l’encontre de la
gravitation quantique à boucles est qu’elle ne propose
pas d’unification de toutes les interactions. Mais rien ne
prouve que la gravitation quantique doive faire partie d’une
théorie englobant toutes les interactions pour être
comprise, même si cette idée est intéressante.
Masse des particules élémentaires
Pour autant que je
sache, rien dans la gravitation quantique ne permet de supposer qu’on
puisse en déduire les masses des particules.
Origine de l’Univers
Il est probable qu’une
bonne théorie de la gravitation quantique sera
nécessaire pour comprendre la physique au voisinage du Big
Bang. La réciproque n’est pas vraie, nous devrions, avec
une bonne théorie, pouvoir comprendre la structure de
l’espace-temps à très petite échelle, même
si nous ne comprenons pas l’origine de l’univers.
Flèche du temps
Roger Penrose a suggéré
il y a quelque temps, que nous pourrions déceler l’asymétrie
du temps de l’univers observable par la gravitation quantique.
Physique de l’esprit
Penrose a aussi suggéré (décidément, ce
jour-là il était très en forme!) que la
gravitation quantique pouvait expliquer l’effondrement de la
fonction d’onde, qui indirectement est responsable (selon
lui ?) de la physique de l’esprit. [155].
Un problème qu’on a incessamment
associé à la gravitation quantique, et que la
gravitation quantique à boucles pourrait être
capable de traiter est le problème des infinis « ultraviolet »
dans les théories quantiques des champs. La structure, si
spécifique, à petite échelle, non perturbative,
de la gravitation quantique à boucles introduit une coupure
physique d’échelle. Comme l’espace-temps lui-même
se présente sous forme de quanta, dans la théorie, il
n’y a littéralement pas de place pour les intégrations
des valeurs d’impulsion très élevées qui
proviennent des divergences ultraviolettes. En l’absence d’une
procédure de calcul bien validée, cependant, il est
prématuré de chanter victoire, les divergences chassées
par la porte pourraient très bien réentrer par la
fenêtre
6
- Le Formalisme
Ici nous commençons la description technique des fondements de
la gravitation quantique à boucles. Le point de départ
de la construction de la théorie quantique est la relativité
générale (RG), formulée en termes de connexion
de Sen-Ashtekar-Barbero [190
,
7,
40
].
Des introductions détaillées du formalisme complexe
d’Ashtekar sont décrits dans le livre [9
],
dans l’article de la revue [164],
et dans le mémorandum de conférence [81].
La version « réelle » de la théorie
est aujourd’hui la plus largement utilisée.
La relativité générale peut être formulée
dans une forme d’espace des phases comme suit [9
,
40].
Considérons une variété tri dimensionnelle M
(compacte et sans bords) et considérons une connexion réelle,
infiniment dérivable
sur
SU(2) et une densité de vecteur
(se
transformant dans la représentation vectorielle de SU(2))
sur M.
Nous utiliserons a, b,..=1,
2, 3 pour les indices spatiaux et i, j...= 1, 2, 3 pour les indices
internes. Ces indices internes peuvent être vus comme
étiquetant une base dans l’algèbre de Lie de
SU(2) ou dans les trois axes d’une triade locale. Les
coordonnées dans M sont appelées x.
La relation entre ces champs et les variables gravitationnelles
métriques conventionnelles sont comme suit:
est
la triade inverse (densifiée) correspondante à la
métrique tridimensionnelle gab(x)
d’hyper surfaces à temps constant
(1)
où g est le déterminant de gab
; et
(2)
est
la connexion de spin associée à la triade, (définie
par
,
où
est
la triade.
est
la courbure extrinsèque de l’hypersurface à temps
constant.
Dans (2
),
est
une constante, appelée le paramètre d’Immirzi qui
peut être choisi arbitrairement (Il va intervenir dans la
contrainte du Hamiltonien.) [114,
115,
116].
Des choix différents pour
conduisent
à des versions différentes du formalisme, tous
équivalent dans le domaine classique. Si nous choisissons
γ égal à « i »,
,
alors A est la connexion standard d’Ashtekar, qui
est égale à la projection de la partie auto duale de la
connexion de spin quadridimensionnelle sur l’hypersurface à
temps constant. Si nous choisissons γ = 1 , nous obtenons la
connexion réelle de Barbero. La contrainte hamiltonienne de la
relativité générale Lorentzienne, a une forme
particulièrement simple dans le formalisme associé à
,
tandis que la contrainte Hamiltonienne de la relativité
générale euclidienne a une forme simple exprimée
en termes de connexion réelle avec γ = 1 .
D’autres choix de γ sont également
viables. En particulier, on a argumenté que des théories
quantiques fondées sur des choix différents de γ
étaient authentiquement physiquement non équivalentes,
car elles impliquaient des “quanta géométriques”
de valeurs différentes. [189
].
Apparemment, il n’y a qu’un choix de γ qui donne le
coefficient correct de 1/4 de la formule de Bekenstein-Hawking
[134
,
135
,
176
,
11
,
178
,
70
],
mais le sujet est toujours débattu
La version spinorielle des variables d’Ashtekar
est donné en termes de matrices de Pauli σi,
i = 1, 2, 3 , ou des générateurs de su(2) τi
= -i/2 σi , par
(3)
Alors, Aa(x)
et
sont
des matrices complexes 2x2 anti-hermitiennes.
La théorie est invariante sous des transformations de jauge
locales de SU(2), des difféomorphismes tridimensionnels
de la variété sur laquelle les champs sont définis
ainsi que sous des translations sous la coordonnée temps,
générée par la contrainte hamiltonienne. La
totalité du contenu dynamique de la relativité générale
est capturé ces trois contraintes qui génèrent
l’invariance de jauge [190,
9].
Comme nous l’avons déjà dit, la contrainte
hamiltonienne Lorentzienne n’a pas une forme polynomiale
simple, si nous utilisons la connexion réelle (2
).
Cela a été considéré un temps comme un
obstacle à la définition, de la contrainte
hamiltonienne et la version complexe de la connexion était
alors principalement utilisée. Cependant, Thiemann a réussi
récemment a construire une contrainte quantique hamiltonienne
Lorentzienne [206
,
201
,
202
]
en dépit de son expression classique non polynomiale.
C’est pourquoi, la connexion réelle est maintenant
largement utilisée. Ce choix a l’avantage d’éliminer
le vieux problème de « conditions réelles »,
c’est-à-dire, le problème d’implémentation
de conditions réelles non triviales dans la théorie
quantique.
6.1 Algèbre des boucles
Certaines entités classiques jouent un rôle
très important dans la théorie quantique. Ce sont :
La trace de l’holonomie de la connexion, qui est étiquetée
par des boucles sur la variété à 3 dimensions,
et des variables de boucles d’ordre plus élevé,
obtenues en insérant le champ E (en n points
distincts, ou ``poignées'') dans la trace de l’holonomie.
Plus précisément, étant donné une boucle
α en M et les points s1,
s2, …,sn
α nous définissons :
et en général
où
est
le propagateur parallèle de Aα le
long de α , défini par
(Voir [77
]
pour plus de détails.) Ce sont les observables de boucle,
introduites dans les théories de Yang Mills dans [95,
96],
et dans la gravitation dans [183
,
184
].
Les observables de boucle définissent des coordonnées
de l’espace des phases et suivent une algèbre fermée
de Poisson, appelée algèbre de boucle. Cette algèbre
possède une propriété géométrique
remarquable Par exemple, le crochet de Poisson entre
et
n’est
pas nul, seulement si β(s) repose sur α,
si c’est le cas, le résultat est proportionnel à
l’holonomie des boucles de Wilson obtenues en joignant α et
β à leur intersection (en reroutant les 4
brins à l’intersection). Plus précisément
Ici
est une distribution de
vecteur supportée par α et α
β
est
la boucle obtenue en partant de l’intersection entre α et
β , et suivant d’abord α et
ensuite β.β-1 est
β avec l’orientation inverse.
Un paramètre (non invariant de jauge
par SU(2) ) qui joue un rôle important dans certains aspects de
la théorie, en particulier dans la régularisation de
certains opérateurs , est obtenu en intégrant le champ
E sur une surface S bidimensionnelle
où f est une fonction sur la surface S,
valorisée dans l’algèbre de Lie de SU(2).
Au lieu des observables de boucles complètes (5,6
,7
),
on peut aussi prendre les holonomies et E[S,f]
comme variables élémentaires [15
,
17
];
ceci étant plus naturel, par exemple, dans l’approche
algébrique C* [12
].
6.2 Gravitation quantique à
boucles
La cinématique d’une théorie quantique est
définie par une algèbre d’opérateurs
« élémentaires » (tels que x
et iħd/dx, ou des opérateurs de création et
d’annihilation) sur un espace de Hilbert 
.
L’interprétation physique de la théorie est
fondée sur la connexion entre ces opérateurs et des
variables classiques, et sur l’interprétation que
est
l’espace des états quantiques.
La dynamique est régie par un hamiltonien,
ou, comme en relativité générale, par un
ensemble de contraintes quantiques, construites en termes
d’opérateurs élémentaires. Pour s’assurer
que les équations quantiques d’Heisenberg, ont la limite
classique correcte, l’algèbre des opérateurs
élémentaires doit être isomorphe à
l’algèbre de Poisson des observables élémentaires.
Ceci induit la règle de quantification heuristique :
«promouvoir les crochets de Poisson en commutateurs ».
Autrement dit, définissons la théorie
quantique, comme une représentation linéaire de
l’algèbre de Poisson, formée sur les
observables élémentaires. Pour ces raisons, illustrées
au chapitre 5, nous choisissons l’algèbre de boucles
définie au chapitre 6.1 pour la quantification de
l’algèbre des observables élémentaires.
Alors, la cinématique de la théorie quantique est
définie par une représentation unitaire de l’algèbre
de boucles.
Ici, nous construisons, une telle représentation
en suivant un cheminement simple.
Nous pouvons commencer « à la
Schrödinger' » en exprimant les états
quantiques au moyen de l’amplitude de la connexion,
c’est-à-dire au moyen de fonctionnelles Ψ(A) de
la connexion (infiniment dérivable). Ces fonctionnelles
forment un espace linéaire, que nous pouvons promouvoir en
espace de Hilbert en définissant un produit scalaire. Pour
définir un produit scalaire, nous choisissons un ensemble
particulier d’états, que nous appelons «
états cylindriques » et commençons par
définir le produit scalaire entre eux.
Prenons un graphe Γ, disons avec n
liens, dénotés γ1...γn,
appartenant à la variété M. Pour
des raisons techniques imposons que les liens soient analytiques.
Soit Ui(A)
= Uγi,
i = 1,...,n l’opérateur de transport
parallèle de la connexion A le long de γi .
Ui(A) est un élément
de SU(2). Prenons une fonction f(g1...gn) sur
[SU(2)]n. Le graphe Γ et la fonction f
déterminent une fonctionnelle de la connexion comme suit:
(12)
(Ces états sont appelés états cylindriques, car
ils furent introduits en [14
,
15
,
16
]
en tant que fonctions cylindriques pour la définition d’une
mesure cylindrique). Remarquons que nous pouvons toujours “agrandir
le graphe “au sens que si Γ est un sous graphe de Γ
', nous pouvons toujours écrire
en choisissant simplement f ' indépendant des Ui'
s des liens qui sont dans Γ ' mais pas dans Γ. Alors,
étant donné deux fonctions cylindriques quelconques,
nous pouvons toujours les voir comme ayant le même graphe
(formé de l’union des deux). Compte tenu de cette
remarque, nous définissons le produit scalaire entre deux
fonctions cylindriques quelconque [137,
14
,
15
,
16
]
par
où dg est la mesure de Haar sur SU(2). Ce
produit scalaire s’étend par linéarité à
une combinaison finie de fonctions cylindriques. Il n’est pas
difficile de montrer que (14
)
définit également un produit scalaire sur l’espace
de ces combinaisons linéaires. En complétant l’espace
de ces combinaisons linéaires dans la norme de Hilbert, nous
obtenons un espace d’Hilbert
.
Ceci est l’espace des états quantiques (non contraints)
de la gravitation à boucles.
transporte
une représentation unitaire naturelle du groupe de
difféomorphisme et du groupe des transformations locales de
SU(2), obtenu en transformant l’argument des
fonctionnelles. Une propriété importante du produit
scalaire (14
)
est qu’il est invariant sous ces deux types de transformations.
est
non séparable. À première vue, ceci semble un
sérieux obstacle à une interprétation physique.
Mais nous verrons plus loin, qu’après avoir factorisé
et évacué l’invariance par difféomorphisme,
nous pouvons obtenir un espace de Hilbert séparable (voir
chapitre 6.8).
Également, la théorie spectrale standard s’applique
sur ,
et en utilisant les réseaux de spin, il apparaît (comme
discuté plus loin) qu’on peut exprimer
comme
une somme directe sur des sous espaces de dimensions finies qui ont
la structure d’espaces de Hilbert de systèmes de spins :
ceci rend les calculs pratiques tout à fait gérable.
Finalement, nous utiliserons une notation de Dirac et écrirons :
de la même manière qu’on peut écrire
en
mécanique quantique usuelle. Dans ce cas, cependant, nous
devons nous rappeler que
n’est
pas un état normalisable.
6.3 États des boucles et
états des réseaux de spin.
Un sous espace
de
est
formé par les états invariants par une transformation
de jauge de SU(2). Définissons maintenant une base
orthonormée dans
.
Cette base représente un outil très important pour
utiliser la théorie. Il fut introduit dans [187
]
et développé dans [31,
32];
Il est appelé base de réseau de spin.
D’abord, étant donné une boucle α dans
M, il y a un état normalisé
dans
,
qui est obtenu en prenant Γ = α et
f(g)=-Tr(g). Soit
Introduisons la notation de Dirac pour les états
abstraits, et dénotons cet état |α >. Ces
états sont appelés états de boucles. En
utilisant la notation de Dirac, nous pouvons écrire :
Il est facile de montrer
que les états de boucles sont normalisables .Les produits
d’états de boucles le sont également. Comme c’est
l’usage, dénotons
également
une multi-boucles, c’est à dire un ensemble de boucles
qui peuvent se chevaucher {α1, …, αn}
, et nous appelons
un état de multi-boucles. Les états de (multi-boucles)
représentaient l’outil principal pour la gravitation
quantique à boucles avant la découverte de la base de
réseaux de spins. Des combinaisons linéaires
d’états de multi-boucles (sur-) balaient
,
et donc un état générique
est
complètement caractérisé par ses projections sur
les états de multi-boucles, soit:
L’ancienne représentation représentait les états
quantiques de cette manière c’est-à-dire par au
moyen des fonctionnelles
sur
un espace des boucles défini dans (19
).
L’équation (19
)
peut être écrite explicitement sous forme d’une
intégrale de transformée, comme nous le verrons au
chapitre 6.7.
Ensuite, considérons un graphe Γ (nous
appellerons arête la ligne joignant deux nœuds du
graphe). Un``coloriage '' de Γ est défini comme
suit.
1. Associons une représentation
irréductible de SU(2) à chaque arête de Γ.
De façon équivalente, nous pouvons associer à
chaque arête γi un nombre
demi entier si, le spin de l’irréductible,
ou de façon équivalente, un nombre entier pi,
la « couleur » pi =
2si
2.
Associons un tenseur invariant v, dans la classe des tenseurs
produit tensoriel des représentations s1,...,sn,
à chaque nœud de Γ dans lequel des arêtes
de spins s1,...,sn se
croisent. Un tenseur invariant est un objet à n
indices, dans les représentations s1,...,sn qui
se transforme de façon covariante. Si n =3, il n’y
a qu’un tenseur invariant (à un facteur multiplicatif
près) donné par le coefficient de Clebsh-Gordon. Un
tenseur invariant est aussi appelé un tenseur inter-jumelant.
Tous les tenseurs invariants sont donnés par la théorie
standard de Clebsch-Gordon. Plus précisément, pour
s1,...,sn , fixés,
les tenseurs invariants forment espace linéaire de dimension
finie. Prenons une base vj est
cet espace, et associons un des éléments de cette base
au nœud. Remarquons que des tenseurs invariants n’existent
que si le produit tensoriel des représentations
s1,...,sn contient
la représentation triviale. Ceci impose une condition sur le
coloriage des arêtes. Pour n =3, ceci est donné
par la célèbre condition de Clebsh-Gordan: Chaque
couleur n’est pas plus grande que la somme des deux autres, et
la somme de 3 couleurs est paire.
Indiquons un graphe colorié par
,
ou simplement, 
,
et appelons-le « réseau de spin ».
(C’est Penrose qui le premier a eu l’intuition que ces
mathématiques étaient pertinentes pour décrire
les propriétés quantiques de la géométrie,
et qui donna la première version de la théorie des
réseaux de spins. [152,
153].)
Etant donné un réseau de spin S, nous pouvons
construire un état
comme
suit. Nous évaluons le propagateur de la connexion le long de
chaque arête du graphe, dans la représentation associée
à ce brin, et à chaque nœud, nous contractons les
matrices de la représentation avec le tenseur invariant. Nous
obtenons un état 
,
que nous écrivons aussi
On peut alors démontrer ce qui suit.
·
Les états du réseau de spin sont normalisables. Le
facteur de normalisation est calculé en [77
].
·
Ils sont invariants de jauge de SU(2).
·
Chaque état du réseau de spin peut être décomposé
en une combinaison linéaire finie de produit d’états
de boucles.
·
Les états normalisés du réseau de spin forment
une base orthonormée pour les états invariants de jauge
de SU(2) dans
(en
choisissant la base des tenseurs invariants convenablement).
·
Le produit scalaire entre deux états de réseaux de spin
peut être facilement calculé graphiquement et
algébriquement. Voir [77
]
pour les détails.
Les états de réseau de spin offrent
une base tout à fait valide pour la théorie quantique.
Les états de réseau de spin définis ci-dessus
sont invariants de jauge de SU(2). Il existe aussi une
extension de la base de réseau de spin à un espace de
Hilbert complet (voir par exemple [17
,
51
],
et les références qui y sont contenues).
6.4
Relations entre les états des réseaux de spin et les
états des boucles et représentation sous forme de
diagramme des états.
Une représentation par diagramme des états dans
est
très utile pour les calculs concrets. D’abord associons
à un état de boucle
un
diagramme dans M, constitué de la boucle
,
elle-même. Ensuite, remarquons que nous pouvons multiplier deux
états de boucle, et obtenir un état normalisable. Nous
représentons le produit de n états de boucle,
par le diagramme formé par l’ensemble des n
boucles correspondantes (qui peuvent éventuellement se
recouvrir), nous dénotons cet ensemble «
multi-boucles »). Alors, les combinaisons linéaires
des diagrammes de multi-boucles représentent des états
dans.
Représenter les états comme des combinaisons linéaires
de diagrammes de multi-boucles rend les calculs faciles dans.
Maintenant, l’état du réseau de spin défini
par le graphe sans nœud α, de couleur 1, est clairement,
par définition, l’état de boucle,
et nous le représentons par le diagramme α. L’état
de réseau de spin
déterminé
par le graphe sans nœud α de couleur n peut
être obtenu comme suit. Traçons n lignes
parallèles le long de la boucle α; Coupons toutes les
lignes en un point arbitraire de α, et considérons les
n! diagrammes obtenus en joignant les brins, par permutation.
La combinaison linéaire de ces n! diagrammes, assigné
de signes alternés (en fonction de la parité de la
permutation) est précisément l’état.
.
La raison de ce résultat clé, peut être trouvée
dans le fait qu’une représentation irréductible
de SU(2) peut être obtenue par le produit tensoriel
totalement symétrique de la représentation fondamentale
avec elle-même. Pour les détails, voir [77
].
Ensuite, considérons un graphe Γ avec des nœuds.
Traçons ni lignes parallèles
le long de chaque arête γi.
Joignons deux par deux les extrémités de ces lignes à
chaque nœud, de façon arbitraire, de telle sorte que
chaque ligne est reliée avec une ligne d’une arête
différente, voir figure 1. De cette manière nous
obtenons un diagramme multi-boucles. Maintenant symétrisons
les ni lignes parallèles le long
de chaque brin, pour obtenir une combinaison linéaire des
diagrammes représentant un état dans.
On peut montrer que cet état est un état de réseau
de spin, où ni est la
couleur des arêtes, et où la couleur des nœuds est
déterminée par la jonction appairée des brins
choisis [77
].
Soulignons de nouveau, que c’est simplement la représentation
de la théorie dans SU(2) qui est derrière ce
résultat.
Plus en détail, si le nœud est
trivalent (a trois arêtes adjacentes) nous ne pouvons appairer
les brins que si le nombre total de brins est pair, et si le nombre
de brins de chaque arête, est plus petit ou égal à
la somme du nombre des deux autres. On reconnaît immédiatement
la condition de Clebsch-Gordan. Si ces conditions sont satisfaites,
il n’y a qu’une manière de joindre les brins. Cela
correspond au fait qu’il n’y a qu’un tenseur
invariant, produit de trois irréductibles de SU(2).
Les nœuds de valence plus élevée peuvent être
décomposés en nœuds « trivalents »
virtuels, joints par des arêtes virtuelles. Les tenseurs
invariants indépendants et orthogonaux, sont obtenus en
faisant varier les couleurs, parmi celles qui sont autorisées,
de ces arêtes virtuelles, (compatibles avec les conditions de
Clebsch-Gordan aux nœuds virtuels).
Différentes décompositions, du nœud,
donnent différentes bases. Donc le coloriage total (nœud
et arêtes) d’un réseau de spin peut être
représenté au moyen d’un coloriage des arêtes
réelles et virtuelles. Voir, Figure 1.
Figure 1 : Construction de
«nœuds virtuels» et «d’arêtes
virtuelles» sur un nœud de valence n.
Vice versa, les états de multi-boucles peuvent être
décomposés en états de réseaux de spin,
en symétrisant simplement le long des noeuds (réels et
virtuels). Ceci peut être fait de façon particulièrement
simple sous forme de diagramme, comme illustré par les
formules graphiques dans [187,
77
].
Ce sont des formules standards. En fait il est bien connu que
l’algèbre tensorielle des représentations
irréductibles de SU(2) admet une notation complètement
graphique. Cette notation graphique a été largement
utilisée par exemple dans la physique nucléaire et
atomique. On peut trouver cela, en détail dans des livres
comme [214,
52,
66].
L’application du calcul “par diagrammes” en
gravitation quantique est décrite en détail dans [77
],
que je recommande à toute personne qui doit entreprendre des
calculs concrets en gravitation quantique à boucles.
Il est intéressant de remarquer que la gravitation quantique à
boucles fut d’abord construite dans une notation purement « par
diagrammes » dans [184
].
La nature graphique de ce calcul, en a étonné plus d’un
et la théorie fut accusée d’être vague et
bizarre. Ce n’est qu’après que les chercheurs
remarquèrent que cette notation basée sur les
diagrammes, était en fait le calcul « par
diagrammes » (dans SU(2)) bien connu des atomistes
et physiciens nucléaires.
6.5 La
représentation
Définissons maintenant les opérateurs quantiques,
correspondant aux
-variables
comme opérateurs linéaires sur 
.
Ils forment une représentation de l’algèbre de
Poisson des variables de boucles. L’opérateur
agit
diagonalement
(rappelons que le produit d’états de
boucles et d’états de réseaux de spin sont des
états normalisables). En notation « diagramme »,
l’opérateur ajoute simplement une boucle à une
combinaison linéaire de multi-boucles.
Les opérateurs de boucles d’ordre plus élevé,
sont exprimés en termes d’opération « de
saisie” élémentaire. Considérons
d’abord l’opérateur
,
avec une prise au point α(s). L’opérateur
annihile tous les états de boucles qui ne passent pas par le
point α(s). Appliqué sur un état de boucle
,
il donne
où nous avons introduit la longueur
élémentaire l0 par
et Δa
et sont définis au chapitre 6.1.
Cette action, s’étend par linéarité, par
continuité, et par la règle de Leibniz aux produits et
combinaisons linéaires d’état de boucles, et pour
complet.
En particulier, il n’est pas difficile de calculer son action
sur un état de réseau de spin [77
].
Les opérateurs d’ordre plus élevés
agissent similairement.
C’est un jeu d’enfant de vérifier
que ces opérateurs définissent une représentation
de l’algèbre de Poisson classique. Tous les opérateurs
dans la théorie, sont construits à partir de ces
opérateurs de boucles fondamentaux, de la même manière
que la QFT classique construit ses opérateurs, incluant
le hamiltonien, en termes d’opérateurs de création/
annihilation.
La construction d’opérateurs composites demande le
développement de techniques de régularisation pour
pouvoir être utilisés en l’absence d’une
métrique de fond. Ils ont été introduits dans
[196]
et développés dans [186
,
77
,
18
,
23
,
138,
17
].
6.6 Version
Algébrique (`représentation “boucle”') et
version différentielle (« représentation
“connexion” ») du formalisme, et leur
équivalence
Imaginons que nous voulions quantifier l’oscillateur harmonique
à une dimension. Nous pouvons considérer l’espace
de Hilbert des fonctions de carré intégrable
,
sur la ligne réelle et exprimer l’impulsion et le
hamiltonien comme des opérateurs différentiels.
Dénotons les valeurs propres du hamiltonien par
.Il
est bien connu que la théorie peut s’exprimer
entièrement sous forme algébrique en termes d’états
.
Ce faisant, tous les opérateurs élémentaires
sont algébriques :
.
.
De même, en gravitation quantique nous pouvons directement
construire la théorie dans la base de réseaux de spins
(ou de boucles), sans même faire intervenir les fonctionnelles
sur les connexions. Cette représentation de la théorie
est dénotée ‘ représentation par
boucles ». Un chapitre du premier article sur la
gravitation quantique par Rovelli et Smolin [184
]
était consacré à une étude détaillée
de la “ théorie de transformation” (au sens de
Dirac) sur l’espace des états de la gravitation
quantique, et en particulier aux relations entre les états de
boucles.
et les états
donnant
l’amplitude pour une configuration A du champ de connexion, et
défini par:
Ici
sont
les valeurs propres de “l’opérateur de connexion”
ou plus précisément, (comme l’opérateur
correspondant à la connexion est définie de façon
bancale dans la théorie) les états généralisés
qui satisfont :
:
Cependant à l’époque de [184
]
l’absence d’un produit scalaire rendait la transformation
douteuse. D’autre part, l’introduction du produit
scalaire (14
)
donne un sens rigoureux à la transformée de boucle. En
fait, nous pouvons écrire pour chaque réseau de spin S,
et pour chaque état
Cette équation définit une relation unitaire entre deux
présentations de
:
La “ représentation par boucle”, dans laquelle on
travaille sur la base
;
et la « représentation par connexion »
dans laquelle on utilise des fonctionnelles d’onde .
Le développement de la représentation par connexion a
suivi un chemin tortueux à travers l’algèbre [12
]
et les méthodes de mesure théoriques [14
,
16
,
15
].
Les travaux de Ashtekar, Isham, Lewandowski, Marolf, Mouraoet
Thiemann ont finalement établi la représentation par
connexion sur une base solide, et ont indirectement bien clarifié
les mathématiques sous-jacentes à l’approche par
boucle. Au cours de ce développement, des doutes sont apparus
au sujet des relations précises entre les formalismes de
connexion et de boucles. Aujourd’hui l’équivalence
de ces deux approches (suspectée depuis toujours) a été
fermement établie. En particulier les travaux de Roberto
DePietri [76]
ont prouvé l’équivalence unitaire des deux
formalismes. Pour une discussion récente voir aussi [139
].
6.7 Autres structures dans
Les développements récents élucidant
le fondement mathématique de la représentation par
connexion ont conféré à cette théorie une
rigueur toute mathématique. Le prix à payer, a été
l’introduction d’outils mathématiques lourds, peu
familiers au physicien de base, ceci ne pouvant que contribuer à
creuser le fossé, entre les théoriciens de la
gravitation quantique et ceux des cordes.
Cette recherche de la rigueur est motivée par
le fait que la gravitation quantique à boucles se situe sur le
terrain peu familier des théories quantiques des champs sur
une variété, où l’expérience
acquise dans les théories quantiques des champs
conventionnelles, est de peu de secours et quelque fois trompeuse.
Compte tenu du peu de chance de trouver des confirmations
expérimentales directes, l’objectif recherché, au
moins pour le moment, est la cohérence sans failles de la
théorie, et sa convergence « macroscopique »
avec les limites classiques.
Dans ces conditions, la rigueur mathématique,
est la seule garantie de la cohérence de la théorie.
Dans le développement de la théorie quantique des
champs conventionnelle, la rigueur mathématique n’est
pas aussi vitale, car nous pouvons procéder à des
vérifications expérimentales très précises,
assurant aux physiciens que la théorie peut être
mathématiquement vide de sens, mais qu’elle est
néanmoins physiquement correcte, et donc que la théorie
doit avoir un sens , même si nous ne savons pas lequel. Ici
comme il ne faut pas compter sur de telles confirmations
expérimentales, le seul critère qu’il nous faut
soigner, pour revendiquer un fondement à cette théorie,
c’est sa rigueur mathématique.
On peut objecter qu’une définition
rigoureuse de la gravitation quantique est sans espoir, du fait que
nous n’avons même pas de définition
rigoureuse de l’électrodynamique quantique (QED),
théorie pourtant réputée plus simple.
L’objection est sérieuse si on se place du point de vue
du physicien qui voit la gravitation comme un « champ
comme les autres, que nous comprenons déjà ».
Mais la QED et les autres théories sont quand même mises
à mal par le problème de l’ultraviolet. L’espoir
physique, qui stimule la recherche en gravitation quantique est que
la structure ultraviolette d’une théorie quantique de la
gravitation invariante par difféomorphisme est profondément
différente de celle des théories conventionnelles.
En fait, rappelons, que très profondément,
il n’y a pas de limite inférieure de distance, dans la
théorie, mais que la théorie génère
naturellement sa coupure à l’échelle de Planck,
ceci dû au caractère discontinu et quantifiable de
l’espace-temps. Donc l’espoir que la gravitation
quantique puisse être rigoureusement fondée est peut
être optimiste mais pas débile.
Après ces commentaires, je vais citer quelques-unes des
structures qui ont été explorées dans
.
D’abord les états de réseaux de spin satisfont
aux axiomes de Kauffman de la version théorique des entrelacs
de la théorie de re-couplage. [130
]
(dans le cas « classique » A=-1) en tous
les points (en espace 3D ) où ils se rencontrent. (Ce fait est
souvent mal compris: la théorie de recouplage se situe en 2d
et est associé par Kauffman à la théorie des
nœuds au moyen habituel de projection des nœuds de 3d
vers 2d. Ici, les axiomes de Kauffman ne sont pas satisfaits aux
intersections crées par la projection 2d du réseau de
spin, mais seulement aux nœuds en 3d. Voir [77
]
pour une discussion détaillée.) Par exemple considérons
un noeud de valence 4 de quatre arêtes coloriés a,
b, c, d. La couleur du nœud est déterminée
en développant le noeud de valence quatre en un arbre
trivalent ; Dans ce cas nous avons une arête interne unique. Le
développement peut être faite de différentes
manières (en appairant les arêtes différemment).
Ils sont en relation les uns avec les autres par le théorème
de recouplage p.60 dans la référence [130
]
(29)
où les valeurs
sont des symboles six-j de SU(2) (normalisés
comme dans [130
]).
L’équation (29
)
s’ensuit des définitions données ci-dessus. La
théorie de re-couplage se révèle être un
outil de calcul puissant dans ce contexte.
Comme les états de réseaux de spin satisfont la théorie
de re-couplage, elle forme une algèbre de Temperley-Lieb
[130].
Le produit scalaire (14
)
dans
est
donné aussi par la trace de Temperley-Lieb des réseaux
de spin, ou de façon équivalente par les crochets de
Kauffman, ou de façon équivalente, par l’évaluation
chromatique du réseau de spin. Voir référence [77
]
pour une présentation détaillée de ces
relations.
Ensuite,
admet
une représentation rigoureuse en tant qu’espace
,
c’est-à-dire un espace des fonctions de carré
intégrables. Cependant pour obtenir cette représentation,
nous devons étendre la notion de connexion à celle de
connexion « distributionnelle ». L’espace
des connexions « distributionnelles » est la
fermeture de l’espace de connexions régulières
(infiniment dérivables) dans une certaine topologie. Donc, les
connexions “distributionnelles” peuvent être vues
comme la limite de séquences de connexions, de la même
manière que les distributions peuvent être vues comme la
limite d’une séquence de fonctions. Les distributions
habituelles sont définies comme les éléments du
dual topologique de certains espaces de fonctions. Ici, il n’y
a pas de structure linéaire dans l’espace des
connexions, mais il y une dualité naturelle entre les
connexions et les courbes dans M: Une connexion “
régulière” A associe un élément
d’un groupe Uγ(A) à chaque
segment γ. Les éléments du groupe satisfont
certaines propriétés. Par exemple, si
est
la composition de deux segments γ1
et
,
alors
.
Une connexion généralisée A, est définie
comme une relation qui associe un élément de SU(2),
que nous dénotons 
ou
,
à chaque courbe (orientée)
dans
M, satisfaisant les conditions suivantes:
i)
et
ii)
,
où
est
obtenu à partir de
en
renversant son orientation,
dénote
la composition de deux courbes ( obtenues en reliant la fin de
au
début de
)
et
est
la composition dans SU(2).
L’espace de
connexions ainsi généralisées est dénoté
.
Les fonctions cylindriques
,
définies au chapitre 6.3
comme fonctions sur l’espace des connexions régulières,
s’étend immédiatement aux connexions
généralisées.
(30)
Nous pouvons définir une mesure
sur
l’espace des connexions généralisées
par
(31)
En fait, on peut montrer que (31
)
définit (par linéarité et continuité) une
mesure absolument continue, bien définie sur
.
C’est la mesure de Ashtekar-Lewandowski (ou
Ashtekar-Lewandowski-Baez) [14
,
15
,
16
,
26
].
Alors, on peut prouver que
sous
l’isomorphisme naturel donné en identifiant les
fonctions cylindriques. Il s’ensuit immédiatement que la
transformation (19
)
entre la représentation de la connexion et l’ancienne”
représentation par boucle est donnée par
(32)
C’est la transformée de boucle que nous avions établie
heuristiquement dans [184
];
ici nous l’avons définie rigoureusement.
De plus,
peut
être vu comme la limite projective de la famille projective des
espaces de Hilbert
,
associé à chaque graphe
appartenant
à M.
est
défini comme l’espace
,
où n est le nombre d’arêtes de
.
La fonction cylindrique
est
naturellement associée à la fonction f dans
,
et la structure projective est donnée par la carte ( des
relations) naturelle. (13
)
[18
,
149].
Finalement, Ashtekar et Isham [12]
ont retrouvé la représentation de l’algèbre
de boucle en utilisant la théorie en représentation
d’algèbre C*: L’espace
,
où
est
le groupe des transformations locales de SU(2) (qui agit
de manière évidente, sur les connexions généralisées),
est précisément le spectre de Gelfand de la partie
abélienne de l’algèbre de boucles. On peut
montrer que c’est une fermeture de norme convenable de l’espace
des connexions régulières de SU(2) sur l’espace
physique, modulo les transformations de jauge.
Donc, nous avons sous la
main, un nombre d’outils mathématiques puissants, pour
traiter de la gravitation quantique non perturbative. Ceci inclut: La
théorie des réseaux de spin de Penrose, La théorie
de représentation SU(2), La théorie de
re-couplage des entrelacs » théoriques de
Kauffman, les algèbres de Temperley-Lieb, la théorie
de représentation spectrale de l’algèbre
de
Gelfand, la théorie de la mesure sur des dimensions infinies
et la géométrie différentielle sur des espaces à
une infinité de dimensions.
6.8 Invariance par
difféomorphisme
La prochaine étape, dans la construction de la théorie
est de factoriser et d’éliminer l’invariance par
difféomorphisme. Ceci est une étape clé pour
deux raisons. D’abord,
est
un espace « énorme » non séparable.
Il est bien « trop grand » pour une théorie
de champ quantique. Mais, la plupart de cette redondance est de
jauge et va être éliminée quand on aura
résolu la contrainte de difféomorphisme, définissant
l’espace de Hilbert invariant par difféomorphisme
.
C’est en cela que la représentation par boucles, comme
définie ici, est d’une grande utilité dans les
théories invariantes seulement par difféomorphisme.
La seconde raison est que
se
retrouve avoir une base naturelle étiquetée par des
noeuds. Plus précisément par des “s-noeuds”.
Un s-noeud s est une classe d’équivalence de
réseaux de spins S sous des difféomorphismes. Un
s-noeud est caractérisé par son ``graphe abstrait”
(défini seulement par les relations d’adjacence entre
les arêtes et les nœuds), par le coloriage, et son «
nouage » et propriétés de liaisons, comme en
théorie de nœuds. Alors les états quantiques
physiques du champ gravitationnel se retrouvent essentiellement
classifiés par la théorie des nœuds. Il a des
manières variées différentes d’obtenir
à
partir de
.
On peut utiliser des techniques de régularisation pour définir
un opérateur quantique correspondant à la contrainte
classique de difféomorphisme en termes d’opérateurs
de boucles élémentaires, et ensuite trouver le noyau de
tels opérateurs. De façon équivalente on peut
diviser
par
l’action naturelle du groupe de difféomorphisme qu’il
transporte.
Soit :
(33)
Il y a plusieurs façons rigoureuses pour définir le
quotient d’un espace de Hilbert par l’action unitaire
d’un groupe. Voir en particulier la méthode dans [18],
qui suit les idées de Marolf et Higuchi [145,
147,
148,
108].
Dans la littérature sur la gravitation quantique, on a
critiqué le fait que le produit scalaire n’est pas
défini dans l’espace des solutions d’une
contrainte
,
défini sur un espace de Hilbert
.
Ceci, en fait, est un faux problème. Il est vrai que si zéro
est dans le spectre continu de
,
alors les valeurs propres correspondantes sont les états
généralisés et que le produit scalaire dans
n’est
pas défini entre elles. Mais les espaces propres de
,
incluant le noyau, héritent néanmoins d’un
produit scalaire de
.
Ceci peut être vu de multiples manières. Par
exemple, on peut le voir comme résultant du théorème
suivant. Si
est
auto adjoint, alors il existe une mesure
sur
son spectre et une famille d’espaces de Hilbert
tels
que
(34)
où l’intégrale est la somme continue des espaces
de Hilbert décrits, par exemple dans [101].
Clairement
est
le noyau de
muni
d’un produit scalaire. Ceci est explicité par exemple
dans [162].
Il y a deux possibilités distinctes pour factoriser et évacuer
la redondance par difféomorphisme, dans la théorie
quantique, produisant deux versions distinctes de la théorie.
La première possibilité est de factoriser et évacuer
les transformations régulières de la variété.
En faisant cela, des espaces modulaires de dimensions finies associés
à des nœuds de valence élevée apparaissent
[98],
de sorte que l’espace de Hilbert résultant est toujours
non séparable. La pertinence physique de ces paramètres
modulaires n’est pas claire, à ce stade, du fait qu’ils
ne semblent jouer aucun rôle dans la théorie quantique.
Autrement, on peut factoriser et évacuer, de façon
cohérente, les transformations continues de la variété.
Cette possibilité a été explorée par
Zapata dans [215,
216],
et semble conduire à une théorie cohérente libre
de toute non séparabilité résiduelle.
6.9
Dynamique
Finalement, la définition de la théorie est achevée
en donnant la contrainte hamiltonienne. Un certain nombre d’approches
d’une définition de contrainte hamiltonienneont
été tentées dans le passé, avec plus ou
moins de réussite. Récemment, cependant, Thiemann a
réussi à régulariser la contrainte
hamiltonienne, ce qui produit un opérateur fini, bien défini.
La méthode de Thiemann's [206
,
201
,
202
]
est fondée sur plusieurs brillantes idées. Je ne
vais pas la décrire ici. Mais je vais brosser ci-dessous
la forme finale (pour le cas « Lapse » =1),
selon [175
].
Je commence par la contrainte du Hamiltonien
Euclidien. Nous avons :
Ici i étiquette les noeuds des s-noeuds s;
(IJ) étiquette les couples d’arêtes
distincts issus des i.
sont
les couleurs des arêtes issues de i.
est
l’opérateur qui s’applique sur un
-noeud
par: (i) créant deux noeuds additionnels, un par arête I
et J; (ii) créant une nouvelle arête, de couleur
1, joignant ces deux nœuds, , (iii) attribuant la couleur
et
respectivement,
aux
arêtes qui relient les nœuds nouvellement formés
avec le nœud i. Ceci est illustré en Figure 2.
Les coefficients
,
qui sont finis, peuvent être exprimés explicitement
(mais de façon assez laborieuse) en terme de produits de
combinaisons linéaires de symboles 6-j de SU(2),
selon les techniques développées en détail dans
[77
].
Certains de ces coefficients ont été explicitement
calculés [51
].
La contrainte hamiltonienne Lorentzienne est donnée par une
expression semblable, mais quadratique en opérateurs
.
L’opérateur défini ci-dessus est obtenu en
introduisant une expression régularisée pour la
contrainte hamiltonienne classique, écrite en termes
d’observables de boucles élémentaires,
transformant ces observables en opérateurs correspondants et
en en prenant la limite. La méthode marche de façon
magique, ceci s’appuyant sur le fait, déjà
remarqué en [188
],
certaines limites d’opérateurs
se
révèlent finies sur des états invariant par
difféomorphisme, du fait que pour
et
,
suffisamment petits,
et
sont
difféomorphiquement équivalents. Donc, ici,
l’invariance par difféomorphisme joue un rôle
crucial dans la théorie.
Pour une étude des problèmes posés
par l’opérateur de Thiemann et de la variante proposée,
voir chapitre 8.
6.10 Dégelons le
formalisme temporel figé : La forme covariante de la
gravitation quantique à boucles.
Un développement récent du formalisme est la traduction
de la gravitation quantique à boucles en une forme
covariante dans l’espace-temps. Ceci fut introduit dans [181
,
160
]
en suivant la même méthode que Feynman dans la
définition de l’intégrale des chemins en
mécanique quantique partant de la théorie canonique de
Schrödinger. Plus précisément, il fut prouvé
dans [160
]
que les éléments de la matrice de l’opérateur
U(T)
obtenu en prenant l’exponentielle de la contrainte dans la
jauge de temps propre (l’opérateur qui génère
l’évolution en temps propre) du hamiltonien (Euclidien)
peut être développé en une somme de Feynman sur
les chemins. En QFT conventionnelle chaque terme d’une somme de
Feynman correspond naturellement à un diagramme de Feynman,
c’est-à-dire un ensemble de lignes reliées à
des sommets (vertices : points de branchement). Une structure
naturelle similaire associée aux termes apparaît en
gravitation quantique, mais curieusement les diagrammes se composent
de surfaces dans l’espace-temps qui se branchent aux sommets.
Donc, la formulation de la gravitation quantique s’exprime par
une somme sur des surfaces de l’espace-temps. Reisenberger
[158]
et Baez [30]
avaient soutenu dans le passé qu’une telle formulation
devait exister, et Iwasaki a développé une construction
semblable en (2+1) dimensions.
Intuitivement l’évolution
temporelle d’un réseau de spin dans l’espace est
donnée par une surface colorée. La surface détient
les degrés de liberté gravitationnels. La formulation
est “topologique”, en ce sens, qu’on doit ne
sommer que sur des surfaces topologiquement non équivalentes,
et que la contribution de chaque surface ne dépend que de sa
topologie.
Cette contribution est donnée par le produit
de sommets élémentaires, c’est-à-dire les
points où les surfaces se branchent.
L’amplitude de transition entre les états
et
de
deux s-noeuds dans un temps propre T est donné en
sommant sur toutes les surfaces (branchées, colorées)
qui
sont liées aux deux s-noeuds
et
La pondération (poids)
de
la surface
est
donnée par un produit sur les n sommets v de
:
La contribution
de
chaque arête (vertex) est donnée par les éléments
de la matrice de l’opérateur de la contrainte
hamiltonienne entre les deux s-nœuds, obtenus en découpant
immédiatement
au-dessus et immédiatement en dessous de l’arête.
Ceci ne dépend que des couleurs des composants de la
surface immédiatement adjacente à l’arête
v. On s’aperçoit que la somme est finie et
explicitement calculable à chaque ordre. Comme d’habitude
dans les diagrammes de Feynman les sommets décrivent les
interactions élémentaires de la théorie. En
particulier ici on voit que la structure compliquée du
hamiltonien de Thiemann, qui sépare un nœud en trois
nœuds, correspond géométriquement à une
arête très simple. La Figure 3 montre une arête
élémentaire. Remarquons que cela ne représente
que l’évolution spatio-temporelle de l’action
élémentaire de la contrainte hamiltonienne, donnée
en Figure 2.
Figure 3: L’arête
élémentaire.
Un exemple d’une surface dans une somme est
donné en Figure 4
Figure
4 : Un terme du second ordre
La version somme sur les surfaces de la gravitation quantique à
boucles présente un lien avec certaines théories
topologiques quantiques des champs, en particulier avec le modèle
de Crane-Yetter [71,
72, 73,
74,
75],
qui admet une représentation très semblable. Pour une
discussion sur les relations précises entre les théories
topologiques quantiques des champs et les théories quantiques
des champs invariantes par difféomorphisme, voir [160
]
et [171,
124,
83].
L’idée d’exprimer la théorie par une somme
sur les surfaces a été développée par
Baez [33
],qui
a étudié la forme générale d’une
théorie quantique des champs généralement
covariante, formulée de cette manière, et par Smolin et
Markopoulou [144
],
qui ont étudié comment capturer directement la
structure causale Lorentzienne de la relativité générale
modifiant les sommets élémentaires. Ils ont aussi
investigué les corrélations à longue portée,
en situation de faible énergie dans la théorie, et
leurs relations avec l’existence une transition de phase au
niveau de la dynamique microscopique, et trouvé
d’étranges ressemblances avec la description théorique
de la percolation.
7
- Résultats physiques
Au chapitre 6,
nous avons brossé le tableau de la structure de base de la
gravitation quantique à boucles. Cette structure a été
développée dans un certain nombre de directions et a
été utilisée pour déduire certains
résultats. Sans prétendre être exhaustif, je
présente ci-dessous quelques-uns de ces développements.
7.1 Technique
·
Solutions de la contrainte hamiltonienne. Un des
résultats les plus étonnants de la théorie est
qu’il a été possible de trouver des solutions
exactes de la contrainte hamiltonienne. Ceci est une conséquence,
du résultat clé, que c’est seulement sur les
nœuds des s-nœuds que les contraintes hamiltoniennes ne
sont pas nulles. [183,
184].
Donc, des s-nœuds, sans nœuds sont des états
physiques qui satisfont la dynamique quantique d’Einstein.
·
Il y a un nombre infini d’états indépendants
de cette sorte, classé selon la théorie classique des
nœuds. L’interprétation physique de ces solutions
est toujours plutôt obscure. D’autres solutions ont été
trouvées. Voir l’article récent [82]
et ses références. Voir aussi [113,
131, 55,
56, 57,
58, 156,
94
,
129].
En particulier, Pullin a étudié en détail des
solutions relatives au terme de Chern-Simon dans la représentation
de la connexion et au polynôme de Jones dans la représentation
par boucle. Selon un célèbre résultat de Witten
[212],
chacune des deux est la transformée de boucle de l’autre.
·
Évolution temporelle. Développement en perturbation
champ fort. Règles de Feynman topologiques. Si on
essaie de décrire l’évolution temporelle du champ
quantique gravitationnel en résolvant la contrainte
hamiltonienne, on obtient le formalisme gelé en temps,
conceptuellement bien défini [168],
mais notoirement non transparent. Une alternative est d’étudier
l’évolution des degrés de liberté
gravitationnels par rapport à des variables de matière,
couplées à la théorie, qui jouent le rôle
d’une “horloge” phénoménologique.
Cette approche a conduit à une tentative de définition
d’un hamiltonien physique [188,
48], et à
une investigation de la possibilité d’amplitudes de
transition entre les états des s-noeuds, à tous les
ordres dans un développement perturbatif (couplage fort) [175
].
Dans ce contexte, l’invariance par difféomorphisme,
combinée au résultat clé, que la contrainte
hamiltonienne agit seulement sur les nœuds, implique que les
règles de Feynman d’un tel développement sont
purement topologiques et combinatoires.
·
Fermions. Les fermions ont été
ajoutés à la théorie [150
,
151
,
35,
207
].
Remarquablement, tous les résultats importants du cas de la
pure RG , sont préservés dans la théorie
RG+ fermions. Il n’est pas surprenant que les fermions puissent
être décrits comme les « extrémités »
de réseaux de spins ouverts.
·
Maxwell et Yang-Mills. L’extension
de la théorie aux champs de Maxwell ont été
étudiés dans [132,
91].
L’extension à la théorie de Yang-Mills a été
investiguée récemment dans [200
].
In [200
],
Thiemann montre que le terme de Yang-Mills dans la contrainte du
hamiltonien quantique peut être définie de manière
rigoureuse, en développant les méthodes de [206
,
201
,
202
].
Un résultat remarquable, dans ce contexte est que les
divergences ultraviolettes ne semblent pas se produire, ce qui
conforte la supposition que la coupure naturelle introduite par la
gravitation quantique peut remédier les difficultés
ultraviolettes des théories quantiques des champs classiques.
·
Application à d’autres théories. La
représentation par boucle a été appliquée
dans d’autres contextes variés, comme la gravitation 2+1
[13,
146,
20]
(sur la gravitation quantique 2+1, dans la représentation
par boucles et d’autres voir [62])
et aussi [21].
·
Treillis et
modèles simpliciaux. Un
nombre de versions intéressantes quantifiées de la
théorie ont été étudié. Voir en
particulier [141,
159,
94,
79].
7.2 Physique
·
Quantification de l’espace à l’échelle
de Planck.
Le résultat
physique le plus remarquable de la gravitation quantique à
boucles est, selon moi, la preuve que l’espace à
l’échelle de Planck n’a pas une structure
continue, mais granulaire. Ceci se manifeste par le fait que certains
opérateurs correspondant à la mesure de grandeurs
géométriques, en particulier les surfaces et volumes,
ont un spectre de valeurs discrètes.
Selon l’interprétation
standard de la mécanique quantique (que nous adoptons), ceci
prédit qu’une mesure physique d’une surface ou
d’un volume va nécessairement donner des résultats
quantifiés. Comme la plus petite valeur propre est à
l’échelle de Planck, cela implique qu’en aucune
manière nous ne pourrons observer des surfaces ou des volumes
plus petits que l’échelle de Planck. L’espace est
donc constitué de ``quanta'' comme l’énergie d’un
oscillateur. Les spectres des surfaces et volumes ont été
calculés en détail dans la gravitation quantique à
boucles. Ces spectres ont une structure compliquée, et ils
constituent des prédictions physiques quantitatives détaillées
de la gravitation quantique à boucles de la physique à
l’échelle de Planck. Si nous avions accès à
la physique expérimentale à l’échelle de
Planck, cela nous permettrait de tester empiriquement la théorie
dans les détails.
Quelques commentaires,
dans l’ordre.
o
La mise en évidence de al granularité l’aire et
du volume est due à Rovelli et Smolin, est apparue la première
fois dans la référence [186
]
Plus tard, ce résultat a été retrouvé
par d’autres méthodes «et développé
par de nombreux auteurs. En particulier, Ashtekar et Lewandowski [17
]
ont retrouvé son établissement en utilisant la
représentation de la connexion et ont terminé le calcul
du spectre ( en ajoutant la partie qui n’avait pas été
calculée en [186
].)
La composante de Ashtekar-Lewandowski du spectre a été
alors retrouvée dans la représentation par boucle par
Frittelli Lehner et Rovelli dans [84
].
Loll a utilisé les techniques de treillis pour mettre lumière
une erreur numérique dans [186
]
(corrigée dans l’erratum) dans les valeurs propres du
volume. L’analyse des valeurs propres du volume a été
faite dans [77
],
où les techniques générales pour réaliser
ces calculs, sont décrites en détail. Le spectre du
volume a été aussi analysé dans [203
].
Il y a aussi quelques publications qui avaient anticipé
le résultat principal présenté dans [186
].
En particulier, Ashtekar Rovelli et Smolin avaient argumenté
en faveur d’une granularité physique de l’espace
comme conséquence de la représentation par boucle dans
[23
],
où quelques-unes des valeurs propres de la surface , étaient
déjà présentées, bien que sous forme
implicite. La première revendication explicite que les valeurs
propres peuvent en principe être observables ( en présence
de matière) est de Rovelli dans [172
].
o
Le lecteur peut s’étonner que les surfaces et les
volumes semblent jouer ici, un rôle plus important que
celui que joue les longueurs, quand on utilise une géométrie
classique, qui est habituellement décrite en termes de
longueurs. La raison est que l’opérateur de longueur est
difficile à définir, et plus difficile à
interpréter physiquement. Pour des
tentatives dans cette direction, voir [204].
Cela ne reflète-t-il qu’un aspect technique ou
cela sous-tend-t-il une difficulté conceptuelle profonde ?
Ce point ne m’apparaît pas clairement..
o
Les opérateurs de surface et de volume ne sont pas invariants
de jauge. Donc nous ne pouvons pas les interpréter comme
représentant des mesures physiques. Des mesures physiques
réalistes de surface et de volume, se réfèrent
toujours à des surfaces physiques et des régions
d’espace déterminées par un objet physique. Par
exemple je peux mesurer la surface d’une certaine table.
Dans une théorie dynamique, cela décrit aussi bien le
champ gravitationnel que la table, la surface de la table est un
paramètre A invariant par difféomorphisme, qui
dépend autant des variables gravitationnelles que matérielles.
Dans la théorie quantique, A va être représenté
par un opérateur invariant de jauge. Maintenant, comme réalisé
d’abord dans [172],
il est plausible que l’opérateur A soit
mathématiquement le même opérateur, qu’un
pur opérateur de surface en gravitation. Cela, car nous
pouvons fixer une jauge pour les variables de matière, et
utiliser la position de la matière pour les coordonnées,
ainsi des observables non invariantes par difféomorphisme dans
une pure théorie de gravitation correspondent précisément
à des observables invariantes par difféomorphisme dans
une théorie matière + gravitation. Alors, il est
probable que la discontinuité du spectre de l’opérateur
de surface, implique la granularité des surfaces physiquement
mesurables, mais il est important de souligner que cette implication
est fondée sur des hypothèses supplémentaires
sur la relation entre une pure théorie de gravitation et une
théorie de gravitation + matière.
La granularité des surfaces et des volumes est établie
comme suit. Considérons l’aire
A d’une
surface
.
L’aire physique A de
dépend
de la métrique, c’est-à-dire du champ
gravitationnel. Dans une théorie quantique de la gravitation,
le champ gravitationnel est un opérateur de champ quantique,
et nous devons donc décrire l’aire de
en
termes d’observable quantique, décrit par un opérateur
.
Nous nous demandons, maintenant ce que cet opérateur quantique
peut
bien être dans une théorie de gravitation quantique, non
perturbative. On peut trouver facilement la solution en écrivant
la formule standard pour l’aire d’une surface, et en
remplaçant la métrique par une fonction appropriée
de variables de boucles. Promouvons ces variables de boucles en
opérateurs, nous obtenons l’opérateur d’aire
.
La bonne construction de l’opérateur exige que
nous régularisions l’expression classique et prenions la
limite d’une séquence d’opérateurs, dans
une topologie d’opérateur convenable. Pour les détails
d’une telle construction voir [186
,
77
,
84
,
51
].
Une technique de
régularisation alternative est exposée dans [17
].
L’opérateur d’aire résultant
agit
comme suit sur un état de réseau de spins
(en
supposant pour simplifier ici, que S est un réseau de
spins sans nœuds sur
):
où i étiquette les intersections entre le
réseau de spin S et la surface ,
et
est
la couleur de l’arête de S croisant la i-ème
intersection.
Ce résultat montre que les états du réseau de
spin (avec un nombre fini de points d’intersection et pas de
nœud sur la surface) sont des valeurs propres de l’opérateur
des aires. Le spectre correspondant est étiqueté par
des multiplets
de
demi entiers positifs, avec n arbitraire, et donné par
Le passage de la
notation en couleur à la notation en spin révèle
l’origine SU(2) du spectre:
où
sont
des demi entiers. Pour le spectre complet, voir [17
]
(représentation par connexion) et [84]
(représentation par boucles).
Un résultat semblable peut être obtenu pour le volume
[186
,
142,
143,
77,
139
].
Limitons-nous ici, pour simplifier, à des réseaux de
spins S , sans noeuds tétravalents dégénérés,
étiquetés par un index i. Soit
les
couleurs des arêtes adjacentes au i-ème
nœud et soit
l’étiquette
de la base dans l’espace inter-jumelant. L’opérateur
de volume
agit
comme suit:
où
est
un opérateur qui agit sur l’espace de dimension fini des
inter-jumelants au i-ème nœud, et ses
éléments de la matrice sont explicitement donnés
( dans une base convenable) par (
)
Voir [51
].
Les valeurs propres du volume
sont
obtenues en diagonalisant ces matrices. Par exemple, dans le
cas simple a=b, c=d=1, nous avons
si d=a+b+c,
nous avons
Pour plus de détails, et l’établissement complet
de ces formules, voir: [51,
203]
·
Limite classique. États quantiques représentant un
espace-temps plat. Tissages. Structure granulaire de l’espace à
petite échelle.
Les états de s-noeuds ne représentent pas les
excitations du champ gravitationnel quantique dans un espace plat,
mais plutôt dans “ pas d’espace” ou
dans l’espace défini par
.
On peut se demander alors, naturellement comment un espace plat ( ou
tout autre géométrie continue et régulière)
peut émerger d’une telle théorie. Remarquons que
dans un contexte de Relativité Générale la
solution de Minkowski, n’a pas toutes les propriétés
de la théorie conventionnelle des champs du vide. (en physique
gravitationnelle, il n’y a pas vraiment d’équivalent
à la théorie du vide conventionnelle, particulièrement
dans le cas spatialement compact). On suppose alors que le cas de
l’espace plat est représenté par un état
hautement excité dans la théorie. Les états dans
qui
décrivent un espace plat quand on l’évalue à
basse énergie (grande distance) ont été étudiés
dans [23
,
217,
49, 99
].
Ils ont une structure discontinue à l’échelle de
Planck. De plus, de petites excitations autour de tels états
ont été considérés dans [125
],
où on montre que
contient
toute la physique des “gravitons libres”, à une
approximation convenable..
·
L’effet Bekenstein-Mukhanov.
Récemment, Bekenstein et Mukhanov [46]
ont suggéré que la nature thermique du rayonnement de
Hawking's [105
,
106
]
peut être affectée par les propriétés
quantiques de la gravitation (pour une revue de suggestions
antérieures dans cette direction, voir [193]).
Bekenstein and Mukhanov observent que dans la plupart des approches
de la gravitation quantique, la surface ne peut prendre que des
valeurs quantifiées [97].
Comme la surface du trou noir est en relation avec sa masse, on peut
escompter que la masse est quantifiée également. La
masse d’un trou noir décroît quant le rayonnement
est émis. Donc l’émission intervient quand le
trou noir fait un saut quantique d’une valeur quantifiée
de sa masse (énergie) à une valeur quantifiée
inférieure, comme font les atomes. Une conséquence de
ceci, est que le rayonnement est émis à des fréquences
quantifiées, correspondant aux différences d’énergie
des niveaux. Donc la gravitation quantique implique un spectre
discret d’émission pour le rayonnement du trou
noir.
Ce résultat n’est pas physiquement en contradiction avec
la prédiction de Hawking d’un spectre thermique continu,
car la densité du spectre est très élevée
au niveau macroscopique. Mais, Bekenstein et Mukhanov ont
observé que si nous prenons la version la plus simple pour la
quantification de l’aire, à savoir que l’aire est
un multiple de l’aire élémentaire
-,
alors le spectre émis doit être « discret »
macroscopiquement et donc très différent de la
prédiction de Hawking. J’appellerai cet effet l’effet
cinématique de Bekenstein-Mukhanov. Malheureusement, l’effet
cinématique de Bekenstein-Mukhanov disparait si nous
remplaçons cette version naïve par le spectre (41
)
calculé par la gravitation quantique à boucles. Dans la
gravitation quantique à boucles les valeurs propres d’une
aire deviennent exponentiellement denses pour un trou noir
macroscopique, et donc le spectre d’émission est
conforme au spectre thermique prédit par Hawking Ceci
est dû aux détails du spectre de l’aire (41
).
Une étude détaillée de ce résultat se
trouve en [43],
mais ce résultat était déjà présent
(implicitement, dans la première version) dans [17].
Il est important de remarquer que la densité des valeurs
propres ne fait que montrer que l’argument cinématique
simple de Bekenstein et Mukhanov n’est pas valide dans
cette théorie, et pas que leurs conclusions sont
nécessairement fausses. Comme souligné par Mukhanov,
une quantification du spectre émis peut être d’origine
dynamique.
·
L’entropie des trous noirs en gravitation quantique à
boucles.
Des arguments indirects [105,
106,
45,
210]
suggèrent fortement qu’un trou noir de Schwarzschild
d’aire macroscopique A se comporte comme un système
thermo dynamique régi par l’entropie de
Bekenstein-Hawking
(k est la constante de Boltzmann ; ici nous avons posé
la vitesse de la lumière =1 , mais écrit les
constantes de Planck et de Newton explicitement). Une compréhension
physique et un établissement de principe de cette
relation nécessite la gravitation quantique, et donc est un
défi pour toute théorie de gravitation quantique
candidate. L’établissement de l’expression de
Bekenstein-Hawking (46
)
pour l’entropie d’un trou noir de Schwarzschild d’aire
A via un calcul de mécanique statistique, en utilisant
la gravitation quantique à boucles est décrit dans [134
,
135
,
176
].
Cet établissement est fondé sur l’idée que
l’entropie du trou noir doit se traduire par des micro-états
sur l’horizon correspondant à une configuration
macroscopique donnée. [213,
63,
64,
37, 38].
Des arguments physiques indiquent que l’entropie d’un tel
système est déterminé par un ensemble de
configurations de l’horizon d’une aire donnée.
[176].
Dans la théorie quantique, ces états sont en
nombre fini et peuvent être comptés. [134,
135].
Le comptage de ces états en théorie quantique à
boucle donne:
(Une version différente d’obtention de ce résultat,
a été annoncée par Ashtekar, Baez, Corichi et
Krasnov [11].)
est
défini au chapitre 6,
et c est un nombre réel de l’ordre de grandeur
des unités qui résulte d’un calcul combinatoire
(en gros,
).
Si nous choisissons
,
nous obtenons (46
)
[189,
70].
Donc la théorie est compatible avec la constante numérique
de la formule de Bekenstein-Hawking , mais n’y conduit pas de
façon univoque. La signification précise de ce fait est
en discussion. En particulier, la signification de
n’est
pas claire. Jacobson a suggéré [127]
que les effets de la re-normalisation finie peut influer sur la
relation entre la constante de Newton nue et sa valeur effective, et
que c’est cela que
reflète.
Pour une discussion sur le rôle de
dans
la théorie, voir [189
].
Au sujet de l’entropie en gravitation quantique à
boucles voir aussi [194].
8 -
Principaux problèmes en suspens et principales voies actuelles
d’investigation
Contrainte
Hamiltonienne.
La cinématique de la théorie est bien comprise, à
la fois physiquement (quanta d’aires et de volume, géométrie
en polymère) et du point de vue mathématique (
,
états de s-nœuds, opérateurs d’aire et de
volume). La partie de la théorie qui craint un peu est sa
dynamique, qui est déterminée par la contrainte
hamiltonienne. Un candidat plausible pour la contrainte quantique
hamiltonienne est un opérateur introduit par Thiemann [206,
201,
202].
Les commutateurs de l’opérateur de Thiemann avec lui
même et avec les contraintes liées au difféomorphisme
ferment, et donc l’opérateur définit une théorie
quantique complète et cohérente. Cependant, il
n’est pas certain que cette théorie soit correcte, et
quelques variantes de l’opérateur ont été
envisagées.
Les doutes sont d’origines diverses. D’abord,
Lewandowski, Marolf et quelques autres ont souligné le fait
que l’algèbre de contrainte quantique ferme, mais
qu’elle n’est pas isomorphe à l’algèbre
de contrainte classique de la RG [140
].
Récemment, une analyse détaillée de ce problème
a été réalisée par Marolf, Lewandowski,
Gambini et Pullin [90].
La non reproduction de le l’algèbre de contrainte
classique a été débattue, et n’est pas
nécessairement un problème, car la seule contrainte
stricte dans la théorie quantique, à part la cohérence,
est que les prédictions physiques invariantes de jauge doivent
converger avec celles de la relativité générale
classique à la limite appropriée. Toujours est il que,
la différence des algèbres peut être vue comme un
indice circonstanciel ( pas comme une preuve) du défaut de
convergence avec la limite classique. Le problème est
techniquement délicat et toujours controversé. J’espère
avoir du nouveau pour la prochaine mise à jour de cet article.
Ensuite, Brügmann [53]
et Smolin [192
]
ont souligné une sorte d’excès de localité
dans la forme de l’opérateur, qui intuitivement semblent
en contradiction avec les propriétés de propagation des
équations d’Einstein. Finalement en transposant
l’opérateur de Thiemann dans le formalisme quadri
dimensionnel d’un espace-temps covariant, Reisenberger et
Rovelli ont remarqué une absence suspecte de covariance 4d
manifeste dans l’action de l’opérateur [160
],
un fait montrant du doigt de nouveau la possibilité
d’anomalies dans l’algèbre de contrainte
quantique.
Rongé par ces doutes, plusieurs variantes de l’opérateur
de Thiemann ont été suggérées. Les
opérateurs originaux de Thiemann sont construits en utilisant
l’opérateur de volume. Il y a deux versions de
l’opérateur de volume dans la literature :
,
introduit dans [186]
et
,
introduit dans [14,
16,
15].
Voir [139]
pour une comparaison détaillée. Originellement,
Thiemann pensait que qu’utiliser
dans
la contrainte hamiltonienne soulèverait des difficultés,
mais il devint clair par la suite, que ce n’est pas la cas [140
].
Les deux versions du volume peuvent être utilisées dans
la définition, produisant deux versions différentes du
hamiltonien [140
].
Ensuite, dans sa version la plus simple, l’opérateur
n’est pas symétrique. Comme la contrainte classique du
hamiltonien est réelle (sur les états invariant de
jauge de SU(2) ), on peut escompter un opérateur
quantique correspondant auto adjoint
En
conséquence, plusieurs méthodes de symétrisation
de l’opérateur ont été considérées
( voir une liste dans [140]).
Ensuite, Smolin a considéré quelques modifications ad
hoc de la contrainte dans [192].
Finalement le formalisme covariant d’espace-temps dans [160
]
suggère naturellement une “covariantisation” de
l’opérateur, décrit dans [160
]
sous le nom de « symétrie croisée ».
Cette « covariantisation » consiste à
ajouter à l’arête décrite dans la Figure 3,
le sommet, décrit dans la Figure 5, qui est simplement obtenu
en réorientant la Figure 3 dans l’espace-temps
Figure 5:
Les sommets des symétries croisées
Une analyse complète
comparative de ces propositions variées serait fort utile.
Enfin, le test final de
toute proposition pour l’opérateur de contrainte
hamiltonienne, doit être cohérent et avoir une limite
classique correcte. Donc la solution du problème de la
contrainte hamiltonienne est intimement lié à la
solution du problème consistant à extraire la limite
classique correcte (de la dynamique) de la théorie.
Matière.
Les bases de la description de la matière dans le formalisme
des boucles a été établi dans [150,
151,
133,
26, 207,
200
].
Il reste du travail à faire pour développer une
description complète des couplages de base de la matière.
En particulier, il y a de fortes présomptions que la
quantification à l’échelle de Planck coupe et
élimine naturellement les infinis des théories
classiques de champs. En particulier dans [200],
Thiemann soutient que la contrainte hamiltonienne régissant
l’évolution de la coordonnée temps du champ de
Yang-Mills est un opérateur bien défini (Je rappelle
que du fait des divergences ultraviolettes, il n’existe pas
d’opérateur hamiltonien, en 4 dimensions, rigoureusement
bien défini dans les théories de Yang-Mills
conventionnelles.) Si ces présomptions se confirment, ce
résultat sera très important. Il nous manque toujours
des techniques de calcul, qui nous permettraient de relier la
contrainte bien définie avec des grandeurs finies observables
comme les amplitudes de diffusion.
Formalisme
d’espace-temps.
Selon moi, le développement de formalismes d’espace-temps
continus, [181,
160
,
33,
144],
est un des domaines de développement les plus prometteurs de
la théorie, car il devrait être la clé permettant
de s’attaquer à la plupart des problèmes en
suspens. D’abord, un formalisme d’espace-temps nous
délivre des obscurités du formalisme figé
d’espace-temps, et il permet une description intuitive “
à la Feynman” de la dynamique de l’espace-temps
quantique. Je pense que la limite classique, la description quantique
des trous noirs, la diffusion graviton-graviton, juste pour ne citer
que quelques exemples devraient être appréhendés
bien plus facilement dans le contexte covariant. Deuxièmement,
il permet d’appliquer à a théorie quantique à
boucles, les idées de Hartle [103]
et Isham [119,
120,
123,
122] sur
l’interprétation de théories quantiques
généralement covariantes. Ceci devrait réduire
considérablement les complications de la voie canonique pour
aborder les observables généralement covariantes. [169,
167].
Troisièmement, le formalisme d’espace-temps devrait
suggérer des solutions pour sélectionner la contrainte
hamiltonienne correcte: Il est habituellement plus simple de traiter
les invariances dans le formalisme Lagrangien que dans le
formalisme du hamiltonien. Le formalisme de l’espace-temps est
juste né, et beaucoup reste à faire. Voir les articles
originaux pour les suggestions et problèmes en suspend.
Trous
noirs.
L’établissement
de la formule d’entropie de Bekenstein-Hawking est un
succès majeur pour la gravitation quantique à boucles,
mais reste à être bien comprise. Une dérivation
stricte de la théorie complète n’est pas
disponible aujourd’hui. Une telle dérivation exige que
nous comprenions, ce qu’est un horizon des événements
dans la théorie quantique. Autrement dit, étant donné
un état quantique de la géométrie, nous devrions
être capables de définir et « localiser »
son horizon (ou quoi que ce soit qui joue ce rôle dans la
théorie quantique). Pour cela, nous devons comprendre comment
prendre en compte la dynamique quantique, comment décrire la
limite classique ( pour trouver les états quantiques qui
correspondent aux solutions classiques des trous noirs), et aussi
comment décrire les états quantiques asymptotiquement
plats.
A côté de ces interrogations formelles, à la
racine du problème de l’entropie du trou noir, il y a un
problème physique de base, qui d’après ce que
j’ai compris est toujours en suspens. Le problème est de
comprendre comment nous pouvons utiliser les idées et
techniques de base de la thermodynamique et de la
statistique dans un contexte de covariance générale.
Pour
apprécier la difficulté, remarquons que la mécanique
statistique fait un usage intensif de la notion d’énergie
(disons dans la définition des ensembles canoniques et micro
canoniques): mais il n’y a pas de notion naturelle d’énergie
associée à un trou noir ( ou il y en a trop). L’énergie
est une notion extrêmement capricieuse en gravitation. Alors,
comment définir l’ensemble statistique? Autrement dit:
Pour calculer l’entropie (disons dans le micro canonique) d’un
système normal, nous comptons les états d’une
énergie donnée. En RG nous devrions compter les états
de « quoi » donné ? On peut
dire : états d’un trou noir d’une aire
donnée, mais pourquoi cela ? Nous comprenons pourquoi le
nombre d’états d’une énergie donnée
régit le comportement thermodynamique des systèmes
normaux. Mais pourquoi le nombre d’états d’une
aire donnée régirait elle le comportement du système,
c’est à dire ses échanges de chaleur avec
l’extérieur ? Une discussion physique est tentée
dans [178].
Comment extraire une
physique de la théorie.
Supposons que nous choisissions une contrainte hamiltonienne
spécifique. Alors, nous avons, en principe, une théorie
quantique bien définie. Comment en extraire de l’information
physique ? Quelques prédictions physiques de la
théorie, comme les valeurs propres, des aires et volumes ont
déjà été extraites de la théorie
par des méthodes variées et ad hoc. Mais existe-t-il
une technique générale, correspondant, disons en QFT,
au traditionnel développement perturbatif de la matrice S
, pour décrire la dynamique complète du champ
gravitationnel? Probablement, de telles techniques générales
vont impliquer un certain type de développement, du fait que
nous n’espérons pas résoudre la théorie
exactement. Des tentatives pour définir des développements
physiques ont été initialisées dans [175]
et dans une forme différente dans [160].
Idéalement, on voudrait une ligne directrice générale
pour calculer les amplitudes de transition par le développement
de certains paramètres autour d’un état. Pouvoir
calculer les amplitudes de diffusion serait de la plus haute
importance, pour se relier au langage de la physique des particules
et comparer avec les prédictions de la théorie des
cordes
Limite Classique.
Finalement, pour prouver que la gravitation quantique à
boucles est un candidat sérieux pour décrire
l’espace-temps quantique, nous devons prouver que sa limite
classique est la RG ( ou du moins se recouvre avec la RG, là
où elle est bien testée). La liaison traditionnelle
entre la gravitation quantique à boucles et la RG classique se
fait via la notion de tissage, un état quantique qui semble «
semi classique » à des distances grandes par
rapport à l’échelle de Planck. Cependant,
les tissages étudiés jusqu’à présent
[23, 99]
sont des tissages 3d, en ce sens qu’ils ont des valeurs propres
d’une métrique tridimensionnelle. Un tel état
correspond à une valeur propre de position pour une particule.
Le comportement classique est obtenu non pas par ces états
mais plutôt par des paquets d’onde qui sont faiblement
étendus en position et en impulsion. De même,
l’espace-temps de Minkowski classique devrait avoir un
étalement dans sa métrique 3D ainsi que dans son
impulsion, car le vide quantique électromagnétique a
une petite étendue quantique dans le champ électrique
et magnétique. Pour retrouver la RG classique, à partir
de la gravitation quantique à boucles, nous devons comprendre
de tels états. On trouvera des investigations préliminaires
dans cette direction dans [126,
125],
mais ces articles datent de plusieurs années, et furent écrit
avant les progrès importants de la théorie. Une
autre direction consiste à étudier directement les
états cohérents dans l’espace des états de
la théorie.
Comme ces notes brèves le montrent, les
problèmes en suspens dans la gravitation à boucles sont
interconnectés. Dans un sens, la gravitation quantique à
boucles s’est développée en visant le régime
non perturbatif, et les résultats obtenus aujourd’hui
sont dans ce contexte. Le problème principal, est de retomber
sur le comportement à grande distance classique. C’est-à-dire,
étudier sa limite classique et la dynamique des excitations de
basse énergie sur un arrière- plan semi-classique.
Comprendre cet aspect de la théorie nous assurerait que
la théorie que nous développons est en fait une théorie
quantique du champ gravitationnel, nous permettrait de comprendre les
trous noirs quantiques, clarifierait l’origine des infinis dans
les hamiltoniens de matière et ainsi de suite. Encore dit
autrement, ce que nous avons le plus besoin de comprendre est la
structure du vide (Minkowski) en gravitation quantique à
boucles.
9
- Brève synthèse et Conclusion
Dans ce chapitre, je vais résumer brièvement l’état
de la gravitation quantique à boucles et ses résultats
principaux. Au niveau mathématique, la théorie c’est
du béton, et elle est comprise de différentes manières.
Des problèmes longtemps en suspens comme l’absence de
produit scalaire, la difficulté de maîtriser la
surcomplétude de la base par boucle et le problème
d’implémentation des conditions réelles
appartiennent au passé. La cinématique est donnée
par l’espace de Hilbert
,
défini au chapitre 6.2,
qui supporte une représentation des opérateurs de
base : les opérateurs de boucles (22
-23
).
Une base adéquate dans
est
fournie par les états des réseaux de spin, définis
au chapitre 6.3.
Les états invariants par difféomorphisme sont donnés
par les états des s-nœuds, et la structure et les
propriétés des états quantiques (invariant
par difféomorphisme) de la géométrie sont plutôt
bien compris (Chapitre 6.8).
Ces états donnent une description d’un espace-temps
quantique en termes d’excitations de type «
polymères » de la géométrie. Plus
précisément, en termes d’excitations élémentaires
représentant des quanta d’aire
La dynamique est codée
dans la contrainte hamiltonienne. Une version bien définie de
cette contrainte existe (voir équation (35
)),et
donc une théorie cohérente existe, mais nous n’avons
pas pu encore prouver que la limite classique est la relativité
générale. Des versions différentes de la
contrainte du hamiltonien ont été proposées et
sont sous investigation. Dans tous ces cas, le hamiltonien a la
propriété fondamentale de n’agir que sur les
nœuds. Ceci implique que cette action est naturellement
« discrète » et combinatoire. Ce fait
est sans doute à la racine du caractère fini de la
théorie. Une large classe d’états physiques qui
sont des solutions exactes de la dynamique est donnée par les
s-nœuds sans nœuds ; les autres états exacts
sont liés aux invariants de la théorie des nœuds.
(chapitre 7.1).
La théorie peut être étendue
pour inclure la matière, et il y a de fortes présomptions
que les divergences ultraviolettes n’apparaissent pas. Une
version covariante d’espace-temps de la théorie, sous
forme de sommes topologique sur des surfaces est en développement
(chapitre 6.10).
Les résultats principaux déduits aujourd’hui de
la théorie sont constitués du calcul explicite des
valeurs propres d’aire et de volume, certains donnés
dans les équations (41
-45
),
et le calcul de la formule de l’entropie d’un trou noir
(équation 41
).
Les deux problèmes principaux ( en relation) sont la
compréhension de la description du régime à
basse énergie dans la théorie et de choisir la
version correcte de la contrainte hamiltonienne.
9.1
Conclusion
L’histoire de la gravitation quantique a
alterné des moments d’exaltation et de déception.
Je me rappelle bien, étant jeune étudiant avoir entendu
à une conférence prononcée par un célèbre
physicien, que le problème de la gravitation quantique
était résolu (je pense que c’était de la
supergravité qu’il s’agissait). La liste des
théories qui se sont déclarées un peu trop
rapidement finales et qui sont tombées aux oubliettes ou ont
été phagocytées par d’autres, incline à
la prudence des déclarations sous peine de porter ombrage
selon moi, à la crédibilité de la communauté
de physique théorique.
La gravitation quantique à boucles, dans ma
vision de la physique, est ce que l’on peut faire de mieux,
aujourd’hui, comme tentative de compréhension de
l’espace-temps quantique, d’un point de vue non
perturbatif, indépendant d’un espace de fond.
D’un point de vue théorique, nous avons
de bonnes raisons de penser que cette approche peut représenter
une théorie quantique cohérente avec la limite
classique, mais nous avons aussi quelques indications qui sont de
nature à contrarier ce bel optimisme. La théorie
produit définitivement une image physique de l’espace-temps
quantique et des prédictions chiffrées. Mais un moyen
systématique pour extraire l’information physique, fait
toujours défaut. Nous n’avons pas de confirmation
expérimentale de la théorie ni directe, ni indirecte.
Le spectre des aires et volumes calculé par la théorie
peut être ou ne pas être physiquement correct. J’espère
vivre assez longtemps pour le savoir.
10 -
Remerciements
Je suis spécialement reconnaissant à
Michael Reisenberger, Roberto DePietri Don Marolf, Jerzy Lewandowski,
John Baez, Thomas Thiemann et Abhay Ashtekar pour avoir
minutieusement lu le manuscrit, pour leurs suggestions détaillées
et leurs critiques féroces. Leur apport a été
immense et leur aide précieuse. Je suis reconnaissant à
tous mes amis dans la communauté, pour le plaisir que
nous avons à faire de la physique ensemble. Ce travail a été
soutenu par le fond NSF Grant PHY-95-15506.