Relativité Générale: Commission Cosmologie de la Société Astronomique de France, Avril 2002

Présentation de la théorie de la Relativité Générale.............................................................................................................................................................. 4

0- Préambule........................................................................................................................................................................................................................... 4

1-Introduction........................................................................................................................................................................................................................ 4

2-L'application à la Cosmologie........................................................................................................................................................................................... 4

3-Recette pour une théorie de la Relativité Générale....................................................................................................................................................... 4

4-Les fondements de la RG.................................................................................................................................................................................................. 4

5-Les Idées Nouvelles.......................................................................................................................................................................................................... 4

6-La mise en œuvre................................................................................................................................................................................................................ 4

7-Géométrie de la relativité Générale, des concepts difficiles à se représenter............................................................................................................ 4

8-Les outils, tenseurs, Calcul tensoriel.............................................................................................................................................................................. 4

9-Les résultats........................................................................................................................................................................................................................ 4

10- L'élaboration laborieuse de la théorie.......................................................................................................................................................................... 4

11- L'approximation Newtonienne....................................................................................................................................................................................... 4

12- De la réalité physique des coordonnées en Relativité générale.............................................................................................................................. 4

13- Conclusion...................................................................................................................................................................................................................... 4

14- Références Bibliographiques........................................................................................................................................................................................ 4

14- Glossaire........................................................................................................................................................................................................................... 4

0 - Préambule.............................................................................................................................................................................................................................. 5

1- Introduction........................................................................................................................................................................................................................... 7

Cette assertion brutale présente quelques petites subtilités qui méritent d'être explicitées...................................................................................... 7

- Théorie de la gravitation ( ne concerne pas les autres interactions).......................................................................................................................... 8

- La gravitation n'est pas une force ( FAQ 1) (Rappel Relativité Restreinte )............................................................................................................ 9

Gravitation : Son extrême faiblesse................................................................................................................................................................................... 10

Gravitation : Son universalité............................................................................................................................................................................................ 10

Lumière.................................................................................................................................................................................................................................. 10

Espaces non Euclidiens...................................................................................................................................................................................................... 11

Equations Covariantes....................................................................................................................................................................................................... 11

Enfin la cerise ( sur le gâteau) : Métrique variable en fonction du temps ( FAQ2)................................................................................................... 12

Ce qu'en dit Einstein (ref 2)................................................................................................................................................................................................ 17

Limpidité de la démarche : Deux principes seulement pour une équation.................................................................................................................. 18

Homogénéité et Cohérence................................................................................................................................................................................................ 19

Succès et fécondité............................................................................................................................................................................................................. 21

2- L'application à la Cosmologie............................................................................................................................................................................................ 22

Einstein équation originale Poisson ( Newton)..................................................................................................................................................... 22

Einstein équation modifiée................................................................................................................................................................................................. 22

Quelques définitions ( provisoires):................................................................................................................................................................................. 22

Qu'est ce qu'un tenseur ?................................................................................................................................................................................................... 22

Comment modéliser la répartition de l'énergie au niveau de l'Univers ?..................................................................................................................... 23

Qu'est ce qu'une métrique ?............................................................................................................................................................................................... 24

Comment déduire de l'équation tensorielle de la gravitation des équations classiques.......................................................................................... 25

Quelques modèles très simples......................................................................................................................................................................................... 26

Modèle statique d'Einstein................................................................................................................................................................................................ 27

2- Modèle de De Sitter ( Univers vide)............................................................................................................................................................................. 30

Annexe 1 :Méthode de calcul pour modèle De sitter.................................................................................................................................................... 31

3-Recette pour une théorie de la relativité générale........................................................................................................................................................... 33

Disposer d'une théorie de Relativité restreinte comme modèle à généraliser............................................................................................................. 33

Idées de généralisation du principe de relativité............................................................................................................................................................ 33

Principe d'équivalence........................................................................................................................................................................................................ 33

Outils pour opérer des changements de coordonnées très généraux ( Calcul tensoriel)......................................................................................... 33

Une exigence de covariance des équations.................................................................................................................................................................... 33

Outils pour décrire des espaces ( temps) non Euclidiens ( Riemann, Christoffel, Ricci,.)........................................................................................ 33

Compatibilité avec la théorie de Newton ( champ faibles et faibles vitesse).............................................................................................................. 33

Quelqu'un de très motivé, voire opiniâtre et convaincu qu'il a raison ( EINSTEIN)................................................................................................. 33

4-Les fondements de la RG..................................................................................................................................................................................................... 34

5-Les Idées Nouvelles............................................................................................................................................................................................................. 35

1-Principe de Relativité générale: Extension du principe de relativité aux systèmes non galiléens, citons Einstein ( synthèse finale 1916) ( ref 2)............................................................................................................................................................................................................................................ 35

"Raisons qui suggèrent une extension du postulat de Relativité................................................................................................................................ 35

Elargissement du principe de relativité............................................................................................................................................................................ 35

2-Principe d'Equivalence.................................................................................................................................................................................................... 37

(Interprétation purement cinématique du champ de gravitation, possible si le tenseur de Riemann est nul dans le domaine considéré)....... 37

Masse Inerte.................................................................................................................................................................................................................... 37

Masse pesante................................................................................................................................................................................................................ 37

Le principe d’équivalence faible ( PEF)....................................................................................................................................................................... 37

Le principe d’équivalence d’Einstein ( PEE)............................................................................................................................................................... 38

Le principe d’équivalence fort*(PEF) , inclut l’énergie du champ gravitationnel lui même................................................................................ 38

Décalage spectral comme conséquence directe du PEE................................................................................................................................................ 40

La courbure nécessaire de l'espace temps....................................................................................................................................................................... 40

Moralité: Se ramener à un problème déjà résolu !!......................................................................................................................................................... 46

6-La mise en œuvre.................................................................................................................................................................................................................. 46

Rappel des transformations utilisées en RR (ref 4):....................................................................................................................................................... 46

Rappel :Vecteurs , Scalaires et Tenseurs en RR............................................................................................................................................................. 46

Ecriture des équations de Maxwell sous forme tensorielle........................................................................................................................................... 48

Définition de l'Impulsion en RR (ref 4)............................................................................................................................................................................. 49

Métrique en RR.................................................................................................................................................................................................................... 50

Généralisation des transformations.................................................................................................................................................................................. 51

La gravitation n’est pas linéaire, auto interaction : le graviton se couple avec lui même à la différence du photon).......................................... 51

7 - Géométrie de la relativité Générale , des concepts difficiles à se représenter........................................................................................................... 52

La métrique........................................................................................................................................................................................................................... 52

Les espaces Euclidiens sont supposés connus............................................................................................................................................................. 52

Espaces Riemanniens ( Variété Riemannienne).............................................................................................................................................................. 53

Le tenseur métrique G_ij intervenant dans l'élément linéaire différentiel: ds²= G_ij.dXⁱ.dX^j...................................................................................... 53

Propriétés du tenseur métrique et de la métrique associée:..................................................................................................................................... 53

-L'expansion de l'univers, de sa métrique entre 2 points quelconques de cette hypersurface................................................................................ 56

cf expansion..................................................................................................................................................................................................................... 56

- Effet de Courbure:............................................................................................................................................................................................................. 56

Définition du transport parallèle (cf outils)..................................................................................................................................................................... 58

Horizon cosmologique dans un Univers en expansion................................................................................................................................................. 58

C'est la formule de Robertson Walker ( postérieure à l’équation de Friedman)......................................................................................................... 61

Géométrie de la Relativité Générale : l’approche contemporaine ref 13....................................................................................................................... 62

Variétés................................................................................................................................................................................................................................. 62

Géodésique........................................................................................................................................................................................................................... 62

On dit alors que la variété possède une courbure, définie mathématiquement par le commutateur des deux dérivées covariantes :.............. 62

(d_r D_s - d_s D_r ) V_m = R_mⁿ_rs V_n. (dx_r, dx_s ) avec d_r premier symbole de dérivation, D_s deuxième symbole..................................................................... 62

où = R_mⁿ_rs est le tenseur de courbure de Riemann......................................................................................................................................................... 62

Métrique............................................................................................................................................................................................................................... 64

La courbe la plus « courte » possible allant d’un point à un autre est solution de l’équation "des géodésiques" :.......................................... 64

d²X^k/ds²+ G_i^k_j .(dXⁱ/ds)(dX^j/ds) =0.................................................................................................................................................................................... 64

On définit les symboles de Christoffel G_i^k_j = 1/2(G^lk )( ¶G_jl/¶x_i + ¶G_il/¶x_j - ¶G_ij/¶x_l )................................................................................................. 64

Courbure............................................................................................................................................................................................................................... 65

tenseur de Riemann : R_jⁱ_kl = ¶Gⁱ_jl/¶X_k - ¶Gⁱ_jk/¶X_l +Gⁱ_mk.G^m_jl - Gⁱ_ml.G^m_jk...................................................................................................................... 65

Le tenseur de Riemann étant le commutateur de 2 dérivées covariantes, sa dérivée covariante D_i est nulle. Plus exactement on obtient l’identité de Bianchi  :....................................................................................................................................................................................................... 66

Espaces symétriques.......................................................................................................................................................................................................... 67

Vecteurs de Killing :............................................................................................................................................................................................................ 69

8-Outils : Tenseurs, Calcul tensoriel..................................................................................................................................................................................... 70

Composantes contravariantes d'un vecteur X................................................................................................................................................................ 70

Composantes covariantes d'un vecteur X....................................................................................................................................................................... 70

Coordonnées curvilignes................................................................................................................................................................................................... 71

Repère naturel en M............................................................................................................................................................................................................ 71

Changement de repère en M (Changement de Coordonnées)..................................................................................................................................... 73

Elément linéaire de l'espace................................................................................................................................................................................................ 73

x.y= G_ij.xⁱ.x^j avec G_ij = ê_i.ê_j................................................................................................................................................................................................. 73

Problème fondamental de l’analyse tensorielle............................................................................................................................................................... 74

Connexion métrique............................................................................................................................................................................................................ 74

Dérivée covariante d'un vecteur....................................................................................................................................................................................... 75

Transport parallèle d'un vecteur....................................................................................................................................................................................... 75

Equation Géodésique cf ref 4 & 2..................................................................................................................................................................................... 76

Méthode 1 ( Géométrique la plus simple).................................................................................................................................................................... 76

Méthode 2 ( Méthode «  physique » originale d’Einstein)...................................................................................................................................... 76

Rappel: Fonction de Lagrange du mouvement ( Lagrangien) en mécanique classique........................................................................................... 76

Fonction de Hamilton en mécanique classique(pm)...................................................................................................................................................... 77

Tenseurs............................................................................................................................................................................................................................... 77

Scalaires................................................................................................................................................................................................................................ 77

Quadrivecteur contravariant.............................................................................................................................................................................................. 78

Quadrivecteur covariant..................................................................................................................................................................................................... 78

Tenseur contravariant........................................................................................................................................................................................................ 80

Tenseur covariant............................................................................................................................................................................................................... 81

Tenseur mixte et de rang supérieur à 2............................................................................................................................................................................. 81

Quelques opérations utiles sur les tenseurs................................................................................................................................................................... 83

Jacobien d’une transformation.......................................................................................................................................................................................... 83

Densité de tenseur.............................................................................................................................................................................................................. 83

Dérivée covariante d'un tenseur....................................................................................................................................................................................... 83

Divergence covariante d'un vecteur................................................................................................................................................................................. 85

Divergence covariante d'un tenseur................................................................................................................................................................................. 85

Tenseurs particulièrement utilisés en Relativité Générale............................................................................................................................................. 86

Tenseur de Riemann Cf Ref 8 & 2&4................................................................................................................................................................................ 86

Tenseur de Ricci : cf ref 2................................................................................................................................................................................................... 89

Le tenseur de Ricci ( Cf ref 7 )contrôle la dérivée seconde du changement de volume, d'un petit volume lors de sa trajectoire géodésique. 89

Le tenseur de Weyl contrôle la déformation ( sphère/ellipsoïde)................................................................................................................................ 89

Scalaire de Ricci................................................................................................................................................................................................................... 89

Tenseur d'Einstein............................................................................................................................................................................................................... 90

Tenseur Impulsion Energie : Cf ref 7................................................................................................................................................................................ 91

9-Les Résultats......................................................................................................................................................................................................................... 92

Equation géodésique.......................................................................................................................................................................................................... 92

Retour sur l'équation de la gravitation d'Einstein........................................................................................................................................................... 92

Exigence de covariance pour conserver la même forme par changement de coordonnées..................................................................................... 92

La limite en l'absence de matière doit être la métrique de Minkowski......................................................................................................................... 93

Limite de Newton pour champ faible , stationnaire et vitesse faibles ( équation de Poisson)................................................................................ 93

Il y a une solution unique qui est le tenseur d'Einstein (cf identité de Bianchi)........................................................................................................ 93

Confirmations récentes de la Relativité Générale (1997)................................................................................................................................................ 96

Ondes gravitationnelles..................................................................................................................................................................................................... 96

Précession de Lense Thirring............................................................................................................................................................................................ 96

Effet Shapiro ( prédit en 1964)........................................................................................................................................................................................... 97

Précision de confirmation de la Relativité générale........................................................................................................................................................ 97

La solution de Schwarzschild s'obtient de la façon suivante:...................................................................................................................................... 98

10-L'élaboration laborieuse de la théorie.............................................................................................................................................................................. 99

11-L'approximation Newtonnienne...................................................................................................................................................................................... 100

11-1 Loi du mouvement (équation géodésique)........................................................................................................................................................... 100

11-1-b : Approximation Newtonnienne (synthèse)...................................................................................................................................................... 103

11-2 Approximation de la loi de Poisson........................................................................................................................................................................ 104

12- De la réalité physique des coordonnées en Relativité générale............................................................................................................................... 104

Changement de coordonnées.......................................................................................................................................................................................... 104

13- Conclusion....................................................................................................................................................................................................................... 107

14- Références Bibliographiques......................................................................................................................................................................................... 110

15 – Glossaire......................................................................................................................................................................................................................... 110

Présentation de la théorie de la Relativité Générale

0- Préambule

1-Introduction

2-L'application à la Cosmologie

3-Recette pour une théorie de la Relativité Générale

4-Les fondements de la RG

5-Les Idées Nouvelles

6-La mise en œuvre

7-Géométrie de la relativité Générale, des concepts difficiles à se représenter

8-Les outils, tenseurs, Calcul tensoriel

9-Les résultats

10- L'élaboration laborieuse de la théorie

11- L'approximation Newtonienne

12- De la réalité physique des coordonnées en Relativité générale

13- Conclusion

14- Références Bibliographiques

14- Glossaire

0 - Préambule

La relativité générale est enseignée aujourd’hui dans le cadre d’un formalisme «   ensembliste «  commun à la physique moderne.

La démarche, que j’ai suivie, procède d’une approche plus historique, celle qui a prévalu au moment de l’élaboration de la théorie qui m’a paru moins austère.

Dans tous cas la Théorie débouche sur des conclusions qui « bouleversent » nos habitudes de pensées déjà pourtant malmenées par la théorie de la Relativité Restreinte.

La relativité générale est enseignée aujourd’hui dans le cadre d’un formalisme  ensembliste   commun à la physique moderne. L’espace temps est une Variété différentiable de type Riemannien, au sens de la Topologie, dont on étudie les propriétés.

Ce formalisme procède d’une volonté d’unification et de synthèse de ces branches existantes dans le cadre d’une super théorie et cherche par formalisation et abstraction à extraire les principes communs à ces différentes branches et a en effacer les contradictions apparentes. Cette méthode possède une puissance heuristique [F1] indiscutable dans le cadre qu’elle vise.

Il m’a paru prématuré de retenir cette approche, sauf pour certaines parties délicates décrivant la géométrie associée à la RG ou l’approche contemporaine apporte quelques éclaircissements.

La démarche, que j’ai suivie, procède d’une approche plus historique, celle qui a prévalu au moment de l’élaboration de la théorie.

Cette démarche possède également une puissance heuristique forte quoique différente de celle actuellement retenue.

Rappelons , que pour la Relativité Restreinte la physique était en danger, puisque après l’immense succès des équations de Maxwell unissant l’électricité , le magnétisme et l’optique, l’expérience de Michelson remettait tout en cause.

Pour la gravitation la situation était moins critique, à part Mercure qui avait un comportement inexpliqué (mais qui aurait pu s’expliquer par des perturbations d’astres non repérés à l’époque), tout paraissait normal , sauf la propagation « instantanée » de la gravitation. Mais des théories s’inspirant de celles de l’électromagnétisme , étaient en cours d’élaboration. C’est dire qu’il n’y avait pas urgence. C’est dans ce cadre que la démarche historique, de nature épistémologique [F2] d’Einstein aboutissant à la « découverte de la Relativité Générale » est intéressante à étudier.

1- Introduction

Après avoir vainement , pendant plusieurs années tenté d'adapter la gravitation dans le cadre de la RR (Espace temps de Minkowski ), Einstein, vers 1913, en rupture avec ses idées précédentes, abandonne le concept de force pour la gravitation et d'espace temps de Minkowski pour le cadre et élabore une toute nouvelle théorie: La théorie de la Relativité Générale qui se résume (complétude) à une seule équation ( cf Newton, Einstein, Hilbert )

S_mn=k.T_mn

S_mn= Tenseur d'Einstein, k constante d’ajustement, T_mn = Tenseur Energie Impulsion

qui signifie que localement la géométrie de l'espace-temps représentée par le tenseur d'Einstein "S "est conditionnée par l'énergie localement présente ( sous toutes ses formes ) représentée par le tenseur "T". Cette formulation stigmatise le caractère primordial de la géométrie (métrique-connexion métrique

)..

Cette assertion brutale présente quelques petites subtilités qui méritent d'être explicitées
- Théorie de la gravitation ( ne concerne pas les autres interactions)

La Relativité Générale ( ¹RR ) est une théorie " Classique et Macroscopique " de la gravitation. Le principal de ses deux piliers , le principe d'équivalence lié à l'égalité stricte de la masse pesante ( charge gravitationnelle) et de la masse inerte ( énergie) ( testé à 10^-12 aujourd’hui, STEP à 10^-17 ) ne s'applique qu'à la gravitation.

A noter d'autres particularités de la gravitation par rapport aux autres interactions :

Son extrême faiblesse. (10 ^–41 fois plus faible que l’électromagnétique)

Son universalité : (pas de charge nulle)

Avant de rentrer dans le vif du sujet, commençons par recenser les principales difficultés conceptuelles.

- La gravitation n'est pas une force ( FAQ 1) (Rappel Relativité Restreinte )

Le concept "révolutionnaire" exposé par EINSTEIN, est que la gravitation n'est pas une force comme NEWTON l'entendait, mais la conséquence de la géométrie de l'espace temps .

Cela présente deux aspects en interaction profonde et une remarque.

1-La courbure de l'espace temps , manifestation de la gravitation , agit sur la matière et l'énergie

- Les corps* qui suivent des trajectoires courbes au voisinage de masses, ne font que suivre les géodésiques (chemins naturels de moindre effort).

2-La matière et l'énergie, représentées par le tenseur énergie impulsion, courbent l'espace temps.

- La courbure de l’espace est source d’énergie (gravitation) donc sujet à la gravitation(nl) .

- Conséquence : Le concept d'accélération, difficile à définir précisément dans ce cas, va être remplacé par le système « chute libre », système inertiel, non accéléré ( pas de force)

La gravitation en Relativité générale se différentie des autres interactions en ceci qu'elle gouverne la cadre commun à toutes : l'espace temps. Ceci implique qu'elle est la seule théorie capable de proposer des hypothèses sur l'origine du temps et de l'espace !!!

Rappel RR : Rappelons que la Relativité Restreinte avait été développée pour rendre compte de l'invariance des lois de l'électromagnétisme. La RR a permis bien d'autres découvertes, y compris en mécanique quantique, spin, anti matière etc..

Gravitation : Son extrême faiblesse.

Si l'intensité de l'interaction forte =1, électromagnétique = 10^-2, électrofaible= 10^-5, gravitation = 10^{-39. (}ref Barrow : la grande théorie) ^.A noter que la comparaison d’intensité entre forces et gravitation n’est pas évidente.

Gravitation : Son universalité

Alors que les autres interactions s'appliquent de façon sélective aux particules, la gravité s'applique à toutes les formes de matière et d'énergie ( même celle qu'on ne connaît pas comme la mystérieuse matière noire qui pour l'instant ne semble se manifester que par son effet gravitationnel) : Pas de charge gravitationnelle nulle.

Lumière

* y compris la lumière, qui a une masse en vertu de l'équivalence matière énergie, ce qui semble ébranler l'hypothèse de la constance de sa vitesse (direction) au sens de la RR (en fait dans le cadre de la théorie de la RG qui est généralement covariante, la signification physique de cette vitesse dépendant des coordonnées est considérée comme douteuse).

Espaces non Euclidiens

- Il s'ensuit des difficultés de compréhension liées aux références aux espaces non Euclidiens nécessités par cette théorie (espaces courbes à 3 dimensions par exemple, qu'il est difficile de se représenter géométriquement), à leurs propriétés telles que la « non connexion » de domaines éloignés (Variété) qui rend problématique la définition des paramètres distants, et aux outils associés tels que les Tenseurs ( Il y en a partout !), avec lesquels nous ne sommes pas familiers.

Equations Covariantes

- La notion de covariance, nécessaire pour satisfaire le principe de Relativité générale, est également obscure pour plus d'un. Sa propriété fondamentale est de conserver la forme des relations donc les équations , donc les lois par tout changement de coordonnées.

La signification profonde de ceci est que les phénomènes physiques ont une réalité physique propre, qui ne dépend pas de l'observateur, c'est à dire du système de coordonnées qui n'est qu'un moyen arbitraire de les décrire, "sous un certain angle". La description doit donc s'en affranchir.

On doit donc pouvoir trouver une formulation des lois qui les régissent, indépendante du système de coordonnées.

- Les équations Tensorielles covariantes « universelles » dont tous les membres se transforment de la même manière seront donc utilisées

- A noter que certaines opérations sur les tenseurs ne conservent pas leur nature et devront être amendées ( dérivée partielle « classique » en dérivée covariante ).

- Cette méthode se révèle très pratique pour généraliser les lois :

- Si on remplace la dérivée partielle classique des équations de Maxwell écrite en RR sous forme tensorielle, par la dérivée covariante on obtient les équations de Maxwell en RG).

- Pas de Calcul et c’est normal ! ! !

Enfin la cerise ( sur le gâteau) : Métrique variable en fonction du temps ( FAQ2)

- Le fait que comme conséquence des équations, la métrique ( invariant fondamental qui sert à mesurer la distance entre deux points de l'espace temps) soit variable en fonction du temps est également source de confusion , car cela choque nos concepts habituels : lorsque des objets s'éloignent nous pensons qu'ils le font toujours par un mouvement propre par rapport à un référentiel.

- La c'est le référentiel qui change!!

« Fuite » des Galaxies en 2D ( x en horizontal,t en vertical ) ref : Wright

Coordonnées synchrones Coordonnées Lorentz

Et cela, ce n'était pas prévu au programme !!Suite

FAQ1 : Qu’est ce que cette hypothèse farfelue ? : En quoi fait elle avancer les choses (simplicité du modèle). Réalité physique ? : Prédictions du modèle vérifiables

Paradoxalement , on est amené presque naturellement (cf ref 12) à cette conclusion, qui se révèle par ailleurs d'une simplicité diabolique pour rendre compte de tous les phénomènes où la gravitation intervient. Autre conséquence: On ne sait pas associer de tenseur énergie Impulsion à la gravitation (lié à sa nature particulière), difficulté de définir l'énergie lié par exemple aux ondes gravitationnelles. A noter que Riemann a été le premier à montrer ( 50 ans avant Einstein) que la courbure de l'espace s'apparentait à une force. Par contre, il a traité cet aspect sous un angle purement mathématique, sans aucune idée sur les lois liant les phénomènes physiques et cette courbure. Le mathématicien anglais W. Clifford qui traduisit la conférence célèbre (1854) de Riemann pour la revue "Nature" en 1873 reprit et amplifia ces idées ( On a space theory of matter: Proceedings of Cambridge Philosophical society 2 -1876). Voir aussi théories concurrentes (Mie, Weyl,..)

FAQ2 : Qu’est ce encore que ce concept bizarre ? N’est pas un artifice pour résoudre les contradictions de la relativité générale ( « c » peut être dépassé, n’est plus constant ?).

Quelle différence pour le big bang entre une explosion qui propulse la matière/energie au loin dans un référentiel Minskowskien ou mieux Euclidien et cette élucubration ( isotropie, simplicité)

A tel point qu'Einstein, persuadé que l'univers était statique ( En 1916 il était limité à notre galaxie) , ne trouvant pas de solution avec ses équations, modifie ses équations pour ajouter un terme (L la constante Cosmologique ) qui lui permet de trouver une solution statique.

Bien qu'ayant eu connaissance des travaux de Friedmann (sans L, en 1922 , cf Zeitschrift für Physik -ref 3)

" Je tiens les résultats de Mr Friedmann pour justes et éclairants. Ils montrent que les équations du champ admettent pour la structure de l'espace à symétrie centrale, en plus des solutions statiques, des solutions dynamiques ( c'est à dire variant avec la coordonnée du temps" A la fin du manuscrit on trouve ce commentaire ( biffé ): solutions auxquelles il est à peine possible d'attribuer une signification physique.

Pas sectaire, en 1927 il attirera l'attention de Lemaitre sur les travaux de Friedmann

Il s'accrochera à sa solution statique jusqu'en 1930 , jusqu'à ce que Eddington montre que la solution statique est instable et que la moindre fluctuation de paramètres la fait diverger et que les observations de Hubble vers 1925 mettent en évidence que l'univers est plus étendu qu'on ne le pensait (autres nombreuses galaxies et le décalage vers le rouge..)

Il reniera alors la constante cosmologique en la qualifiant de "plus grande erreur de sa vie". Pour la petite histoire cette "erreur" a été très inspirée puisque aujourd'hui cette constante est remise à l'honneur.

La puissance de la théorie de la Relativité générale doit s'évaluer non seulement aux problèmes non résolus (ex: périhélie de Mercure) qu'elle permet de solutionner mais encore plus aux prédictions nouvelles, inattendues et révolutionnaires qu'elle révèle.

Au sujet de la métrique variable, illustrons la par une parenthèse Cosmologique (ref 6)

Dans l'expansion de l'univers, conséquence de la RG, ( Il n'y a pas de solution statique stable) ce ne sont pas les galaxies qui s'éloignent les unes des autres par rapport a un cadre spatial de référence ( référentiel), mais que c'est ce cadre spatial qui gonfle. Ce qui fait que deux points éloignés peuvent avoir une vitesse de récession bien supérieure à la vitesse de la lumière, des dizaines voire des centaines de fois, (en particulier au début quand la constante de Hubble avait une valeur très élevée*) sans que cela viole en quoi que ce soit le principe qui dit qu'on ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière ( par rapport au cadre spatial ).

Dans un espace Riemannien, la vitesse d'un point éloigné n'est pas physiquement mesurable parce qu'on ne sait pas étendre notre référentiel local jusqu'au point ou il coïnciderait. On ne mesure que des points évènements dans son référentiel par des coïncidences. Prudence sur l'interprétation du décalage spectral!!!

VB = dOB/dt = 3/dt, VA = dOA/dt = 6/dt = 2 VB

Ne pas en déduire que l'univers est un pudding et qu'à ce titre il est anglais et éternel, comme nos amis anglo-saxons voudraient nous le laisser croire ( gag) !

* par exemple, dans l'hypothèse d'un univers de densité critique, les photons du RFC que nous captons maintenant ont été émis à T0 +300 000 ans, lorsque le facteur d'échelle "e"de l'univers était de 1/1000 , la constante de Hubble ** valait 2,1 millions de km/s par méga parsec ( 30 000 fois sa valeur actuelle) ce qui veut que deux objets distants de 470 000 a.l avaient une vitesse de récession égale à "c".

Comme le point qui dans le futur ( après expansion) allait abriter la terre était distant de 29 Millions d'années lumière à cette époque, la vitesse de récession était supérieure 60 "c". Ce qui fait qu'ils ont commencé à s'éloigner emportés par l'expansion , avant de commencer à se rapprocher lorsque le rythme d'expansion s'est ralenti. Ils sont aujourd'hui distant de 29 milliards d'années lumière (facteur d'échelle de1000). N'oublions pas le facteur 3 entre l'age de l'univers T ***et sa dimension**** liée à l'expansion: facteur d'échelle***** e = (t/ta)^2/3 qui implique D (Gal)= 30 (1-e^1/2 ) et d= e.D avec D distance actuelle à la réception de la lumière, d distance au moment de l'émission de la lumière

Aujourd'hui toutes les galaxies situées à plus de 15 milliards années lumière ont une vitesse de récession supérieure à "c", ce qui ne veut pas dire qu'on ne verra pas, en particulier si la densité est critique car l'expansion ralentit.

**H crit= (8pGr/3)^1/2

***Age de l'univers T = 2/3Hcrit

****avec comme conséquence que l'horizon s'accroît plus vite que la taille de l'univers s'il est critique ( on en voit une partie de plus en plus grande, la limite étant la brume cosmique avant le découplage pour la lumière.

*****Pendant l'ère radiative cette loi était : e= (t/ta)^1/2

Fin de parenthèse Cosmologique

Ce qu'en dit Einstein (ref 2)

Pour inclure une note de gaîté , écoutons Einstein au sujet de la difficulté de compréhension de la RG (Conférence 20 juin 1933 à Glasgow )

"A la lumière des connaissances acquises, ce à quoi nous avons eu la chance d'aboutir apparaît comme presque évident: un étudiant intelligent est capable de le comprendre sans grand effort" :

Limpidité de la démarche : Deux principes seulement pour une équation

Cette déclaration euphorique d'Einstein appelle un commentaire.

Il est vrai que la démarche suivie par Einstein ( comme pour la Relativité Restreinte) est d'une limpidité stupéfiante *et inscrit la Relativité Générale dans le cadre des grandes théories rationalistes.

*Tout se déduit de deux principes ( comme en RR ) et de deux principes seulement

- Généralisation du principe de Relativité de la RR aux systèmes en mouvement relatif accéléré: On augmente la portée et donc la puissance du principe de Relativité

- Principe d'équivalence Du fait de l’égalité stricte de la masse pesante ( charge gravitationnelle) et de la masse inerte ( quantité d’énergie), un champ local gravitationnel est équivalent à un mouvement accéléré et réciproquement un référentiel en chute libre dans un champ gravitationnel est équivalent à un système inertiel. Ceci va permettre un traitement « cinématique » de la gravitation. ( Calculs de changement de référentiel).

- Le Principe d’équivalence se décline en 3 versions Faible, d’Einstein, et Fort

Le reste n'est que de la cuisine ( un peu lourde il est vrai) mathématique

Le résultat de cette cuisine est proprement renversant et assez lourd à digérer ( remise à plat , ce qui est un comble pour des espaces courbes, des concepts d'espace-temps déjà malmenés par la RR), interprétation géométrique de la gravitation, expansion de l'Univers.

De façon lapidaire on peut dire que:

Avec Newton si on retire la matière de l'univers, il reste l'espace et le temps!

Avec Einstein, si on retire la matière (énergie ) de l'univers il ne reste plus rien !

( propos à nuancer du fait qu'il existe des solutions d'univers avec une métrique mais vides de matière )

De ce fait les concepts d’espace et de temps posé par Kant comme « données immédiates à priori de la conscience » investis à ce titre d’une réalité objective externe (divine dans le contexte de Kant) se réduisent à leur stricte définition ( un outil du cerveau indispensable à la compréhension du Monde)

Homogénéité et Cohérence

Le fait qu'elle soit l'œuvre d'une seule personne lui confère homogénéité et cohérence.

Complexité opératoire: Des outils complexes

La difficulté est que les outils nécessaires à la modélisation mathématique de la théorie sont peu familiers.

Einstein a du les étudier, se faire aider par son ami Grossmann, et cela lui a coûté beaucoup de temps et d'errements comme en atteste ses écrits et publications.

Alors que pour la RR on disposait de peu d'informations sur sa genèse, pour la RG comme Einstein était devenu célèbre en 1905 avec la publication de sa théorie, il a eu un large accès aux publications scientifiques, et reconnu par les plus grands savants de son époque ( Born, Ehrenfest, Sommerfeld ...) , il a pu correspondre avec eux au sujet de ses travaux .

Citons le philosophe Mach qui l'a beaucoup influencé.

Paradoxalement Mach n'a jamais cru à la RG.

Succès et fécondité

Les succès de cette théorie, élaborée de façon purement spéculative, sont nombreux ( courbure des rayons lumineux, Mercure, décalage de fréquence dans un champ gravitationnel, ralentissement des horloges, modèles cosmologiques dont Big Bang, ondes gravitationnelles, etc….).

Sa fécondité en cosmologie est exemplaire: rappelons que cette théorie a été élaborée à une époque (1916 ) ou on croyait notre univers limité à la voie lactée ( les galaxies extérieures comme Andromède et leur récession ont été découvertes bien plus tard (vers 1925) .

A partir d'un modèle ultra simplifié d'univers ( une bulle de gaz homogène) régi par l'équation d'Einstein , Friedmann dès 1922 formule deux solutions correctes d'univers ( sans constante cosmologique) en expansion soit infinie soit cyclique.

Ce fut le début du modèle standard avec tous ses développements qui vont bien au delà de la RG.

Rappelons que la RG prédit également en Cosmologie les trous noirs, solution ou elle cesse d'être applicable (singularité)

Elle reste la théorie de la gravitation de référence, même si elle souffre d'une incompatibilité de nature avec la mécanique quantique. La théorie des supercordes est une tentative d'unification des ces deux grandes théories.

2- L'application à la Cosmologie

"La révolution qu'implique l'abandon de la géométrie Euclidienne, remplacée par la géométrie Riemannienne, procède de l'idée que l'espace temps est fonction de son contenu (ou du moins qu'ils sont liés).

L'espace temps et donc l'univers deviennent ainsi des objets par l'intermédiaire de la gravitation. L'idée force de la théorie de la Relativité générale est donc Cosmologique dans son principe même" ( Albert Einstein œuvres choisies).

Rappel: Avec Newton quand on retire la matière, il reste l'espace et le temps,

Avec Einstein quand on retire la matière , il ne reste rien ( ou presque)

Einstein équation originale Poisson ( Newton)

R_mn-(g_mn.R)/2=0 D(F) = 0 en l'absence de matière

R_mn-(g_mn.R)/2= - 8p.G.T_mn , ou R_mn= - 8p.G.[T_mn -(g_mn.T)/2], D (F) =4pG.r dans la matière

Einstein équation modifiée

R_mn-[g_mn(R-2L)]/2=0 D(F) = 0 en l'absence de matière

R_mn-[g_mn(R-2L)]/2= - 8pGT_mn D (F) = 4pG.r dans la matière

Tenseur d'Einstein, Tenseur, Divergence d'un Tenseur

Tenseur Ricci, Scalaire de Ricci, Tenseur Métrique, Constante Cosmologique

Contraction de Tenseur ,Tenseur de Riemann, ,Dérivée covariante de tenseur, Espaces Riemanniens

Déplacement parallèle curviligne, Coordonnées curvilignes, Connexion Métrique

Coordonnées contravariantes, Covariantes,, espaces vectoriels/duals, etc …..

Quelques définitions ( provisoires):

Toutes ces notions demandent à être connues si on veut bien comprendre la Relativité Générale. C'est l'objet d'un cours d'études supérieures qui dure en général 6 mois. Pour une présentation en heure et demie il faut faire des choix drastiques !!.

Qu'est ce qu'un tenseur ?

Un tenseur de rang 2 (m,n) , à 4 dimensions (m et n varient indépendamment de 0 à 3 : espace temps), est un objet mathématique à 16 composantes ( scalaires, ou fonctions s' il existe un espace vectoriel en chaque point de l'espace temps)) qui peut être visualisé par exemple sous forme d'un tableau 4x4 ( généralisation du concept de vecteur qui est un tenseur de rang 1)

	êR00	R01	R02	R03ê
	êR10	R11	R12	R13ê
Rmn =	êR20	R21	R22	R23ê
	êR30	R31	R32	R33ê

Une équation entre de tels tenseurs de rang 2 génère 16 équations ( puisque tout les termes de même indice mn des tenseurs doivent être égaux entre eux). A noter que si le tenseur est symétrique le nombre d’équations indépendantes est plus faible. Cette définition sera précisée.

Comment modéliser la répartition de l'énergie au niveau de l'Univers ?

En vertu du principe cosmologique, et bien que la situation soit notablement différente entre le coeur des étoiles et le vide glacial de l'espace, à grande échelle il est supposé homogène et isotrope.

Donc par simplification, l'énergie- impulsion est considérée répartie isotropiquement dans l'univers , comme un fluide parfait. Um, Un sont les quadrivecteurs vitesse du fluide, r sa densité g^mn le tenseur métrique inverse et

p sa pression, on obtient alors le Tenseur Impulsion Energie suivant

T^mn=(p+r)U^m.Uⁿ - p.g^mn

Qu'est ce qu'une métrique ?

La métrique est l’élément clé de la RG, sa forme caractérise la géométrie de l’espace temps.

Dans une Variété, pourvue d’une métrique , elle est définie pour un vecteur par son auto produit scalaire ( extension du concept 3D de métrique en mécanique Newtonienne déjà étendu à 4D en RR le ds²). Elle mesure des « distances » entre des points, des points évènements. Elle a une signification physique. A noter que l'équation de la gravitation est "indépendante" de la métrique

En géométrie Euclidienne, repéré par un système orthonormé, la distance « d » entre deux points « a » de coordonnées Xa,Ya,Za et « b » de coordonnées Xb,Yb,Zb calculée à partir des différences de coordonnées par le théorème de Pythagore d²= (Xb-Xa)²+ (Yb-Ya)² +(Zb-Za)²) est invariante à toute transformation du référentiel par des translations et rotations ( les coordonnées des points « a » et « b » Xa,Xb,Ya,Yb,Za,Zb changent, mais pas la distance « d » calculée dans ces nouvelles coordonnées).

D'une façon générale l'élément métrique s'écrit: ds² = g_mn.dx^m.dxⁿ où g_mn est le tenseur métrique qui est constant en géométrie Euclidienne mais qui dépend des coordonnées en géométrie Riemannienne.(Approche contemporaine : étude des isométries, reflet des symétries de la Variété). Le tenseur de Riemann caractérisé par la métrique définit complètement la courbure.

L'équation de la gravitation ne permet en fait que d'en déterminer les paramètres.

Quelle métrique utiliser ? ( en Cosmologie)

En vertu du principe Cosmologique évoqué ( Isotropie, homogénité ), l'Univers identique à lui même en tout point et dans toutes les directions ( pas de centre) est dotée d'une métrique à symétrie spatiale maximum. Ces contraintes très fortes sont suffisantes pour la déterminer.

C'est la métrique régie par le ds² de Robertson Walker (RW),

ds²= dt² -R²(t)[dr²/(1-kr²) + r²( dq²+ sin²q.dj²)]

qui correspond au tenseur métrique g_mn ci dessous ( on verra comment on l'établit plus loin)

|g00=1				| dt
|	g11 = -R²/(1-kr²)			| dr
|		g22 = -R²r²		| dq
|			g33 = -R²r²sin²q	| dj

g_mn = 0 si m est différent de n, k=1 ( hypersphère) ou 0 ( plat), ou -1(hyperbolique). Pour d’autres distributions de matière, autres métriques (Schwarzschild pour symétrie centrale par ex )

Comment déduire de l'équation tensorielle de la gravitation des équations classiques

Le tenseur de Ricci et le scalaire de Ricci présents dans le membre de gauche sont complètement déterminés par le tenseur métrique et ses dérivées premières et secondes ( via une combinaison des symboles de Christoffel décrivant les connexions métriques, on verra plus loin ce que c'est) que l'on peut calculer à partir de la métrique de RW.

êR₀₀ 0 0 0ê | 1 | êT₀₀ 0 0 0 ê

ê R₁₁ 0 0ê+ ½(R-2L) .| -R²/(1-kr²) | = - 8pG. ê0 T₁₁ 0 0 ê

ê R₂₂ 0ê | -R²r² | ê0 0 T₂₂ 0 ê

ê R₃₃ê | -R²r²sin²q | ê0 0 0 T₃₃ ê

R_mn = Tenseur de Ricci g_mn=Tenseur Métrique T_mn= Tenseur Impulsion/E

Tenseur de Rici: R_mn= ¶G_m^l_n/¶x^l- G_m^l_sG_n^s_l  , scalaire de Ricci: R=g^mn. R_mn, T^mn=(p+r)U^m.Uⁿ - p.g^mn

et G_m^l_n = 1/2(G^sl )( ¶G_ns/¶x_m + ¶G_ms/¶x_n - ¶G_mn/¶x_s )

On obtient alors les deux (compte tenu de l'isotropie spatiale en x,y,z) équations ci dessous

(2/R)(d²R/dt²)+(1/R²)(dR/dt)²+Kc²/R² -L.c²= -8pGp/c² (1)

(3/R²)(dR/dt)²+3Kc²/R² - Lc²= 8pGr (2)

Avec

R(t) rayon de l'univers,

Lconstante cosmologique,

r densité de l'univers,

p pression du "fluide " cosmique,

K constante de courbure ( +1, 0 ou -1),

G = Constante de gravitation

Nous disposons alors de tous les éléments pour décrire le modèle Cosmologique.

A noter dans le cas général ( métrique quelconque ) le calcul du tenseur de Ricci à lui seul et même en tenant compte de ses symétries demande beaucoup d' opérations pour son évaluation ( En fait ce sont les symboles de connexion métrique qui demandent le plus de calcul : G_m^l_n = 1/2(G^sl )( ¶G_ns/¶x_m + ¶G_ms/¶x_n - ¶G_mn/¶x_s )

Quelques modèles très simples

Modèle statique d'Einstein

Einstein croyait l'univers statique donc que son rayon était égal à une constante R0, il suppose K=+1 et p=0 ( pression nulle ou négligeable devant r.c² )

a) avec l'équation d'origine ( sans constante cosmologique):

R_mn-(g_mn.R)/2= - 8p.G.T_mn

On obtient:*

2/R(d²R/dt²)+1/R²(dR/dt)²+K.c²/R² = -8p.G.p/c² (1)

3/R²(dR/dt)²+3K.c²/R² = 8p.G.r (2)

Comme R= R0 est constant et p= 0 , l'équation 1 donne : c²/R² = 0 !!!

, l'équation 2 donne : 3c²/R² =8pGr !!!

*A noter qu’ Einstein n’a pas travaillé avec les équations sous cette forme , la métrique de RW étant postérieure à 1916

Cela laissa Einstein perplexe, qui jetant aux orties la limite Minkowskienne lorsque l'espace est vide rajouta la constante Cosmologique

R_mn-[g_mn(R-2L)]/2= - 8pGT_mn d'ou on tire:

2/R(d²R/dt²)+1/R²(dR/dt)²+K.c²/R² -L.c²= -8pG.p/c² (1)

3/R²(dR/dt)²+3K.c²/R² - Lc²= 8p.G.r (2)

Les équations se simplifient

La première donne : L=1/R0²

La deuxième donne : 2c²/R0² =8pGr

On en déduit : R0 = c/(2(pGr)^1/2

A noter l’instabilité de la solution puisque l’équilibre résulte de l’égalité de deux phénomènes antagonistes, dont une variation provoque une amplification de la variation.

A noter que Einstein a du introduire la constante cosmologique L, car sinon les équations n'avaient pas de solution.

Cette constante, (controversée) a pour effet lorsqu'elle est positive d'être répulsive, effet négligeable lorsque l'univers est dense ( début de l'univers dans modèle standard) mais qui peut devenir prépondérant lorsque la densité est faible ( destin de l'univers) accélérant l'expansion.

Elle est également appelée énergie du vide avec le paradoxe que entre sa valeur "prédite" et sa valeur " mesurée" il y a un rapport inouï ( 10¹²⁰).

Certains lui font jouer un rôle dans l'hypothèse d'inflation primordiale.

Bref, pour une bévue, un beau sujet de controverse.!!!

2- Modèle de De Sitter ( Univers vide)

Cette fois ci le rayon n'est plus supposé constant R(t)

Si p=r=0 et K =0 , les équations se simplifient considérablement ( ne sont plus indépendantes)

Univers vide : d²R/dt²- Lc²R/3 = 0

La solution est évidente R(t)= R0. e .^{t. (Lc²/3)^1/2} ( Inflation exponentielle)

Annexe 1 :Méthode de calcul pour modèle De sitter

En fait on procède de la façon suivante on calcule les symboles de Christoffel G , à partir de éléments de la métrique diagonale de RW :

| G00=1 |

| G11 = -R²/(1-kr²) |

| G22 = -R²r² |

| G33 = -R²r²sin²q |

Gij = 0 si i est différent de j

De la formule : G_i^k_j = 1/2(G^lk )( ¶G_jl/¶x_i + ¶G_il/¶x_j - ¶G_ij/¶x_l )

On peut calculer par exemple:

G ₀¹₁ = (G¹¹)/(2)(¶G₁₁/¶x₀ + ¶G₀₁/¶x₁ - ¶G₁₀/¶x₁) =

(G¹¹)/(2)(¶G₁₁/¶x₀ ) = -((1-kr²)/2R²)(2R.R'/1-kr²) = R'/R

On calcule les autres symboles de Christoffel G ( beaucoup sont nuls)

On reporte ces symboles dans le tenseur de Ricci qui vaut si [-g]^1/2 =-1

R_ij = (¶G_i^k_j)/¶x_k - G_i^k_l.G_k^l_j

Pour calculer les équations à partir de l'équation de la gravitation après avoir calculé le tenseur de Ricci à par des symboles de Christoffel

On calcule le scalaire de Ricci à partir du tenseur de Ricci qu'on multiplie par G^ij

On multiplie le scalaire de Ricci par la métrique et

Itou pour le terme avec la constante cosmologique L

On obtient ainsi le membre de gauche de l'équation

Et comme une équation entre tenseurs se ramène à n équations (entre les éléments d'indices correspondants du tenseur) on déduit les équations citées ci dessus. Ce sont ces équations que l'on va utiliser pour examiner les différentes possibilités d'univers
3 -Autres Modèles ( à suivre )

Dans le modèle standard complet on peut utiliser une autre équation déduite

d/dt(R³.r) + p/c²(d/dt(R³)) =0 (3)

On déduit (3)de l'exigence de divergence covariante nulle du Tenseur Energie Impulsion pour un fluide parfait:

- Dans les autres cas ( Modèle de Lemaître, Friedmann) on obtient selon la valeur des paramètres des univers fermés, ouverts en expansion infinie ou cyclique.

- Ces modèles sont plus complexes et justifient un exposé dédié. (cf exposé sur Cosmologie).

3-Recette pour une théorie de la relativité générale

Disposer d'une théorie de Relativité restreinte comme modèle à généraliser

Idées de généralisation du principe de relativité

Principe d'équivalence

Outils pour opérer des changements de coordonnées très généraux ( Calcul tensoriel)

Une exigence de covariance des équations

Outils pour décrire des espaces ( temps) non Euclidiens ( Riemann, Christoffel, Ricci,.)

Compatibilité avec la théorie de Newton ( champ faibles et faibles vitesse)

Quelqu'un de très motivé, voire opiniâtre et convaincu qu'il a raison ( EINSTEIN)

4-Les fondements de la RG

La RG est la suite logique de la RR. Après avoir établi que tous les systèmes inertiels étaient équivalents ( pas de référentiel absolu), EINSTEIN s'est demandé si on ne pouvait pas étendre ce principe de relativité à d'autres référentiels ( accélérés par exemple).

L'exemple de 2 corps A et B isolés dont l'un "tourne" autour d'un axe reliant ces 2 corps (provoquant une "accélération") fait mettre en doute le caractère absolu de cette assertion.

Quelle expérience permet de prouver que c'est A qui tourne et non pas B ( en sens contraire).

Il y a le fameux argument des masses distantes (principe de Mach).

L'autre question est: d'ou vient il que, vis à vis de la gravitation , les corps quelles que soient leurs masses, leurs formes, leurs natures suivent la même loi ( différent de la force électromagnétique).

Cela suppose l'égalité stricte de la masse pesante( f_g = -m_g ÑF) et de la masse inerte ( f = m_ig ), mesurée à l'époque à 10^-8 par Eotvös, aujourd’hui à 10^-12, demain à 10^-17 , alors que ce sont deux concepts bien distincts.

Quelle est l'origine de la masse inerte ( principe de Mach : elle naît de l'interaction avec les autres corps de l'univers). Plus tard EINSTEIN a plutôt parlé de champ.

5-Les Idées Nouvelles

1-Principe de Relativité générale: Extension du principe de relativité aux systèmes non galiléens, citons Einstein ( synthèse finale 1916) ( ref 2)

"Raisons qui suggèrent une extension du postulat de Relativité

La mécanique classique et la RR souffrent d'un défaut épistémologique que E. Mach a été le premier à signaler clairement que l'expérience suivante va permettre d'illustrer.

Soit deux corps fluides de même taille et de même nature flottant librement dans l'espace et si éloignés l'un de l'autre et des autres corps de l'espace que les seules forces de gravitation à prendre en compte sont celles qu' exercent l'une sur l'autre les parties d'un seul de ces corps. On suppose que la distance entre les deux corps ne varie pas et que les parties d'un corps n'ont pas de mouvement relatif. Mais supposons que chaque masse, du point de vue d'un opérateur au repos par rapport à l'autre, ait un mouvement de rotation à vitesse angulaire constante autour de la droite reliant les deux masses. Et supposons qu'en arpentant les corps on trouve que l'un a la forme d'un ellipsoïde et l'autre d'une sphère. Demandons nous pour quelle raison les corps se comportent différemment . /..../Une réponse satisfaisante à cette question doit pouvoir être vérifiée expérimentalement. La mécanique Newtonienne qui fait référence à l'espace "absolu "-attaché à celui qui est sphérique ne convient pas. Cet espace non décelable physiquement correspond à une cause fictive. Une réponse satisfaisante ne peut s'énoncer qu'ainsi.

Le système tel que décrit ne fait apparaître aucune cause justifiant une différence de comportement. La cause doit se trouver en dehors du système /...../ Les masses éloignées. "

Elargissement du principe de relativité

"Le principe de l'égalité de masse inerte et de la masse pesante m'apparut dans sa signification profonde. Il devait renfermer la clé d'une compréhension plus profonde de l'inertie et de la gravitation.

Dans un champ de gravitation homogène , tous les mouvements se déroulent comme ils le font en l'absence de champ, par rapport à un système de coordonnées uniformément accéléré .

Si ce principe valait pour n'importe quel processus ( principe d'équivalence) , il fallait y voir l'indication que , si on voulait parvenir à une théorie naturelle du champ de gravitation , il fallait élargir le principe de relativité à des systèmes de coordonnées en mouvement non uniformes les uns par rapport aux autres."