lhttp://pancake.uchicago.edu/~carroll/notes/ : J. Fric endosse toute responsabilité pour les erreurs que sa traduction ( qui n'a pas été vérifiée par l'auteur) aurait pu ajouter. En cas de doute, veuillez vous rapporter à la version originale.

3. De la courbure des Espaces ( Variétés Riemaniennes).................................................................... 4

Introduction................................................................................................................................... 4

Connexion métrique...................................................................................................................... 4

Dérivée covariante......................................................................................................................... 4

Propriétés fondamentales........................................................................................................... 4

Coefficients de connexion.............................................................................................................. 5

Propriétés des transformations des dérivées covariantes de Vecteurs.............................................. 5

Les coefficients de connexion ne sont pas des tenseurs................................................................... 6

Dérivée covariante d'un tenseur...................................................................................................... 6

Propriétés complémentaires....................................................................................................... 6

Connexion en Relativité Générale................................................................................................... 8

Le tenseur de torsion..................................................................................................................... 8

Hypothèses complémentaires pour la connexion métrique........................................................... 8

Unicité de la connexion métrique: Sa valeur en fonction de la métrique............................................ 9

Connexion de Christoffel (connexion métrique)............................................................................... 9

Symboles de Christoffel............................................................................................................. 9

Exemple de calcul des symboles de Christoffel......................................................................... 10

Divergence d'un vecteur........................................................................................................... 11

Faisons le point........................................................................................................................... 11

Transport parallèle....................................................................................................................... 12

Transport parallèle d'un vecteur............................................................................................... 12

Le résultat d'un transport parallèle dépend du chemin suivi............................................................ 14

De la difficulté de définir une vitesse relative d'objets éloignés................................................... 14

Définition d'une méthode de transport parallèle......................................................................... 15

Equation du transport parallèle..................................................................................................... 15

Le transport parallèle conserve le produit scalaire de vecteurs................................................... 16

Propagateur parallèle................................................................................................................... 16

Holonomie d'une boucle.......................................................................................................... 18

L'équation géodésique................................................................................................................. 18

L'équation géodésique définie par le vecteur tangent..................................................................... 18

L'équation géodésique défini comme extremum du chemin............................................................ 19

Expression du symbole de Christoffel en fonction du tenseur métrique........................................... 20

Equation géodésique en présence de forces.............................................................................. 20

Paramètres affines................................................................................................................... 21

Conservation type d'intervalle d'espace temps sur une géodésique............................................ 21

"Justification ?" que l'extremum est un maximum........................................................................ 21

De la possible multiplicité des géodésiques............................................................................... 22

Utilisation des géodésiques pour baliser un voisinage : la carte exponentielle.............................. 22

Géodésiques incomplètes......................................................................................................... 23

Théorèmes de singularités........................................................................................................ 23

Le tenseur de courbure de Riemann............................................................................................. 24

Forme générale à priori du tenseur de Riemann........................................................................ 24

Commutateur de dérivées covariantes.......................................................................................... 25

Dans un espace où les composantes du tenseur métrique sont constantes, le tenseur de Riemann est nul et réciproquement................................................................................................................................................... 27

Les (anti)symétries du tenseur de Riemann................................................................................... 29

En quatre dimensions , le tenseur de Riemann a 20 composantes indépendantes........................ 30

L'identité de Bianchi.................................................................................................................... 31

Le tenseur de Ricci :.................................................................................................................... 31

Le scalaire de Ricci..................................................................................................................... 31

Le tenseur d' Einstein................................................................................................................... 32

Le tenseur de Weyl..................................................................................................................... 32

Le tenseur de Weyl est invariant par une transformation conforme............................................. 32

Courbure intrinsèque, courbure extrinsèque.................................................................................. 33

Quelques exemples trompeurs ( cylindre, tore)......................................................................... 33

Le cas du cône........................................................................................................................ 34

La courbure de la sphère......................................................................................................... 35

Courbures positives, négatives................................................................................................. 36

La déviation géodésique.............................................................................................................. 37

L'équation de déviation géodésique.............................................................................................. 38

Connexions non métriques........................................................................................................... 38

Base orthonormée de vecteurs non dérivée des fonctions de coordonnées................................ 39

Tétrades, Viebeins....................................................................................................................... 39

Transformations locales de Lorentz ( LLT), Transformations générales de coordonnées (GCT). 41

Connexion de spin....................................................................................................................... 41

Equations de structure de Maurer-Cartan.................................................................................... 43

Dérivée extérieure covariante................................................................................................... 44

Comparaison des connexions et de la courbure en géométrie de Riemann avec celle des théories de jauge en physique des particules.............................................................................................................................. 45

Transformations de jauge, théories de jauge................................................................................. 45

Dérivée covariante de jauge..................................................................................................... 46

Des différences subsistent........................................................................................................ 46

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3. De la courbure des Espaces ( Variétés Riemaniennes)

Introduction

De notre étude sur les Variétés, il ressort que dès qu'une Variété est définie, nous pouvions immédiatement y définir des fonctions, prendre leurs dérivées, considérer des courbes paramétrées, et y construire des tenseurs entre autres. D'autres concepts comme le volume d'une région, la longueur d'un arc de courbe ont nécessité l'introduction d'une structure fondamentale complémentaire, à savoir : La métrique.

Il vient naturellement à l'esprit, que la courbure d'un espace, concept que nous avons déjà évoqué, dépend de la métrique. En fait, ceci n'est pas suffisamment précis, ou du moins est incomplet.

Connexion métrique

En fait la structure nécessaire que nous devons introduire est la connexion (métrique) qui est caractéristique de la courbure. Nous montrerons comment l'existence d'une métrique implique une certaine connexion (métrique), dont la courbure reflète celle de la métrique.

Cette connexion se révèle nécessaire quand nous voulons remédier au caractère non tensoriel de la dérivée partielle. Nous avons besoin d'une dérivée covariante, opérateur qui se réduit à la dérivée partielle dans les espaces plats, en coordonnées cartésiennes, mais qui respecte la loi de transformation tensorielle dans une variété quelconque. La tradition veut qu'on justifie longuement cette introduction, alors qu'en fait le besoin est évident.

Des équations telles que¶_mT^mⁿ = 0 doivent être généralisées à des espaces courbes d'une certaine manière. Donc nous ne pouvons pas nier que disposer d'une dérivée covariante serait une bonne chose, et regardons comment nous y prendre.

L'opérateur de dérivée partielle ¶_m, dans les espaces plats en coordonnées cartésienne est une application linéaire d'un champ de tenseur (k, l ) vers un autre champ de tenseur (k, l + 1). Il agit linéairement sur les arguments du tenseur et obéit à la règle de Leibniz pour les produits de tenseurs. Tout ceci continue à être vrai dans une situation plus générale, mais le résultat de l'application linéaire dépend du système de coordonnées utilisé.

Dérivée covariante

Nous voudrions définir un opérateur de dérivée covariante qui réaliserait l'opération de dérivée partielle, mais de façon indépendante des coordonnées.

Propriétés fondamentales

Nous exigerons donc de qu'il soit une application linéaire de tenseurs (k, l) vers des tenseurs (k, l + 1) avec les deux propriétés suivantes:

linéarité: <!-- MATH

$\nabla(T+S) = \nabla T + \nabla S$

-->(T + S) = T + S ;

règle de Leibniz (produit) : (T ÄS) = (T) ÄS + T Ä (S) .

Si obéit à la règle de Leibniz il peut toujours être écrit comme une dérivée partielle plus une transformation linéaire. Pour prendre la dérivée covariante, nous commençons par prendre la dérivée partielle et nous appliquons une correction pour rendre le résultat covariant (nous n'allons pas en faire la preuve, mais vous la trouverez dans "Wald" si cela vous intéresse). Considérons le cas d'un vecteur Vⁿ. Cela signifie que pour chaque direction m, la dérivée covariante Ñ_mva consister en la dérivée partielle ¶_m plus une correction spécifiée par une matrice (G_m)^r_s. (Une matrice n × n, où n est la dimension de la Variété pour chaque index m).

Coefficients de connexion

En fait les parenthèses sont généralement omises et nous écrirons ces matrices appelées coefficients de connexion, de la manière suivante : G^r_m_s. Nous avons donc

<TBODY>

(3.1) </TBODY>

Remarquons que dans le second membre, l'index original du vecteur V a été transféré vers , et le nouvel index ne sert qu'à la sommation. Si c'est bien l'expression de la dérivée covariante d'un vecteur en termes de dérivée partielle, nous devrions être capables de déterminer les propriétés de transformation de Gⁿ_m_l, en exigeant que le membre de gauche soit un tenseur (1,1).

Propriétés des transformations des dérivées covariantes de Vecteurs

Donc, nous voulons que la loi de transformation soit :

<TBODY>

(3.2) </TBODY>

Commençons par le membre de gauche, on peut le développer en utilisant (3.1) et ensuite transformer les parties par les règles que nous connaissons :

<TBODY>

(3.3) </TBODY>

Le membre de droite peut être développé de façon similaire :

<TBODY>

(3.4) </TBODY>

Ces deux expressions doivent être égalées, le premier terme de chaque est identique et s'annule donc, alors nous avons :

<TBODY>

(3.5) </TBODY>

Où nous avons renommé l'index de sommation en . Cette équation doit être vraie pour tout vecteur V^l, donc nous pouvons l'éliminer des deux membres. Ensuite les coefficients de connexion dans les coordonnées "primées" peuvent être isolées en multipliant par x^l/x^l'.

Le résultat est :

<TBODY>

(3.6) </TBODY>

Ce n'est évidemment pas une loi de transformation de tenseur, à cause du second terme.

Les coefficients de connexion ne sont pas des tenseurs

Ceci est normal puisque les coefficients de connexion ne sont pas des tenseurs. Par construction, les 's sont non tensoriels puisqu'ils sont destinés à "corriger" et rendre tensoriels les dérivées partielles qui ne le sont pas, autrement dit annuler le terme qui détruit le caractère tensoriel (donc qui n'est pas un tenseur!) de l'expression (3,1). C'est pourquoi il faut être attentif au placement des index dans les coefficients de connexion, ils ne sont pas des tenseurs et nous ne pouvons pas les abaisser ou les élever à l'envi.

Dérivée covariante d'un tenseur

Penchons nous maintenant sur le cas des dérivées covariantes des autres types de tenseurs. Par un raisonnement similaire à celui que nous avons utilisé pour les vecteurs, on montre que la dérivée covariante de formes mono-linéaires est égale à leur dérivée partielle corrigée par une transformation linéaire. A priori, il n'y a pas de raison que ce soit les même matrices à base des mêmes coefficients Gⁿ_m_lqui expriment cette transformation. En général nous pouvons écrire :

<TBODY>

(3.7) </TBODY>

où ~Gⁿ_m_l est un nouvel ensemble de matrices pour chaque m. (Attention au placement et à l'utilisation des index). Il est immédiat de montrer que les propriétés de transformation de doivent être les mêmes que , mais à part cela nous n'avons pas d'autres relations.

Propriétés complémentaires

Pour ce faire nous devons introduire deux nouvelles propriétés supplémentaires que nous voudrions que les dérivées covariantes satisfassent :

-commutatif vis à vis des contractions: Ñ_m (T^l_l_r) = (T)_m^l_l_r ,

-se ramène à une dérivée partielle pour les scalaires : Ñ_mf= ¶_mF.

Ces propriétés ne sont pas dérivées des précédentes, ce sont des exigences nouvelles que nous formulons pour la définition de la dérivée covariante.

Regardons ce qu'elles impliquent. Soit un champ de formes mono-linéaires w_m et un champ de vecteurs V^m, nous pouvons prendre la dérivée covariante du scalaire défini par w_l V^l et obtenir

<TBODY>

(3.8) </TBODY>

Mais comme w_l V^l est un scalaire ceci doit se ramener à la dérivée partielle :

<TBODY>

(3.9) </TBODY>

Ceci n'est possible que si les termes comprenant des coefficients de connexion s'annulent dans (3.8) , donc en renommant les indices de sommation nous avons :

<TBODY>

(3.10) </TBODY>

Mais comme w_s et V^l sont arbitraires alors :

<TBODY>

(3.11) </TBODY>

Les deux conditions complémentaires nous ont donc permis d'exprimer la dérivée covariante d'une forme mono-linéaire en utilisant les mêmes coefficients de connexion que ceux utilisés pour les vecteurs ( mais en inversant le signe et reliant les index différemment ) :

<TBODY>

(3.12) </TBODY>

Ayons montré que c'était vrai pour les deux types fondamentaux de tenseurs, et compte tenu de la linéarité des opérateurs tensoriels, nous n'allons pas être surpris que les coefficients de connexion contiennent toute l'information nécessaire pour prendre la dérivée covariante de n'importe quel type de tenseur. La formule est biblique, pour chaque index haut, nous devons introduire un terme correctif + , à la dérivée partielle et un terme correctif - pour chaque index bas.

<TBODY>

(3.13) </TBODY>

C'est l'expression générale de la dérivée covariante. Vous pouvez vérifier qu'elle est déduite du jeu d'axiomes que nous avons posé, et des exigences habituelles relatives à l'indépendance du caractère tensoriel vis à vis des coordonnées. Citons une variante de notation utilisant les virgules pour les dérivées partielles et les points virgules pour les dérivées partielles covariantes.

<TBODY>

(3.14) </TBODY>

De nouveau, je rappelle que je ne suis pas adepte de cette notation.

Pour définir la dérivée covariante, nous devons donc munir notre Variété d'une "connexion" qui est spécifié dans un système de coordonnées par l'ensemble de ses coefficients G^l_m_n (n³ = 64 composantes indépendantes pour n = 4 dimensions) qui se transforme selon (3.6). Le nom "connexion" vient du fait qu'elle est utilisée pour transporter des vecteurs d'un espace tangent vers un autre comme nous verrons plus loin. Nous pouvons définir un grand nombre de connexions dans une Variété, chacune associée à une notion différente de dérivée covariante.

Connexion en Relativité Générale

En Relativité Générale, cette liberté ne nous gène pas, car il apparaît qu'à chaque métrique n'est associée qu'une seule connexion. Regardons comment nous y prendre.

La première chose est de noter que la différences entre deux connexions est un tenseur (1, 2). Si nous avons deux ensembles de coefficients connexion G^l_m_n et ^G^l_m_n, leur différence S_m_n^l = G^l_m_n - ^G^l_m_n, ( remarquons la position des index) se transforme selon :

<TBODY>

(3.15) </TBODY>

Ce qui est bien conforme à la loi de transformation des tenseurs, donc S_m_n^l est bien un tenseur. Ceci implique que tout ensemble de connexions peut s'exprimer comme la somme d'une connexion irréductible et d'un tenseur quelconque. Remarquons également que d'une connexion donnée G^l_m_n, on peut immédiatement en former une autre par permutation des index bas. Ceci dit, l'ensemble des coefficients G^l_m_nva se transformer selon (3.6) (car les dérivées partielles présentes dans le dernier terme peuvent être commutées) et ainsi définir une connexion différente.

Le tenseur de torsion

Nous pouvons ainsi associer un tenseur à chaque connexion, appelé le tenseur de torsion, défini par :

<TBODY>

(3.16) </TBODY>

Il est clair que ce tenseur est antisymétrique dans ses indices. Une connexion qui est symétrique dans ses indices est dite sans torsion.

Hypothèses complémentaires pour la connexion métrique

Définissons une connexion unique dans une Variété munie d'une métrique g_m_n en ajoutant deux propriétés:

sans torsion: G^l_m_n= G^l₍_m_n).
Compatibilité métrique : Ñ_rg_m_n = 0.

Définissons la compatibilité métrique d'une connexion (que nous appellerons connexion métrique) par le fait que la dérivée covariante par rapport à la connexion de la métrique soit identiquement nulle. Ceci implique quelques propriétés sympathiques. D'abord, c'est un jeu d'enfant que de montrer que la dérivée covariante de la métrique inverse est également nulle.

<TBODY>

(3.17) </TBODY>

Ensuite, une dérivée covariante compatible avec la métrique est commutative vis à vis de l'abaissement ou de l'élévation d'index. Soit pour un champ de vecteurs V^l,

<TBODY>

(3.18) </TBODY>

Avec des connexions non compatibles avec la métrique il faut être très vigilant sur le placement des index, lorsqu'on exécute une dérivée covariante.

Unicité de la connexion métrique: Sa valeur en fonction de la métrique

Nous revendiquons l'unicité de connexion sans torsion pour une Variété donnée qui est compatible avec une métrique donnée de cette Variété. Nous n'inclurons pas ces deux exigences dans la définition de la dérivée covariante, elles sélectionnent simplement une possibilité parmi de nombreuses. Nous pouvons démontrer et l'existence et l'unicité en dérivant une expression manifestement unique des coefficients de la connexion en termes de la métrique. A cet effet, développons l'équation de compatibilité de la métrique pour les trois permutations différentes des index.

	<TBODY>
		(3.19) </TBODY>

Nous soustrayons la deuxième et la troisième de la première et utilisons la symétrie de la connexion pour obtenir:

<TBODY>

(3.20) </TBODY>

D'évidence, en multipliant par g^s^r , on résout cette équation. Le résultat est :

<TBODY>

(3.21) </TBODY>

C'est une des formules les plus importantes dont on doit se souvenir sur le sujet. Certes nous n'avons fait que prouver qu'il s'il existe une connexion sans torsion et compatible avec la métrique elle doit être de la forme (3.21). Vous pouvez vérifier que le membre de droite de (3.21) se transforme comme une connexion. Cette connexion que nous venons de définir à partir de la métrique est un des piliers de la Relativité générale classique (gardons toutefois une ouverture d'esprit pour la suite).

Connexion de Christoffel (connexion métrique)

Elle est connue sous différents vocables : Connexion de Christoffel, connexion de Levi-Civita ou connexion de Riemann .

Symboles de Christoffel

Les coefficients de la connexion sont appelés symboles de Christoffel et écrits {^s_m_n} notation que nous éviterons. L'étude des Variétés munis d'une métrique avec leur connexion associée est appelée la Géométrie Riemannienne. L'étude de connexions plus générales a été faite par Cartan, mais nous n'avons jamais entendu parler de la géométrie de Cartan. Avant d'utiliser nos dérivées covariantes, dans ce qui suit, mentionnons quelques unes de leurs propriétés. D'abord rappelons qu'une connexion n'a pas à être construite à partir de la métrique. Dans l'espace plat ordinaire , il y a une connexion implicite que nous utilisons tout le temps, la connexion de Christoffel construite sur une métrique plate. Mais nous pouvons si nous le voulons en choisir une différente, tout en conservant la métrique plate. Remarquons également, que dans une métrique plate, les coefficients de la connexion de Christoffel s'annulent en coordonnées cartésiennes, mais pas en coordonnées curvilignes.

Exemple de calcul des symboles de Christoffel

Considérons par exemple le plan en coordonnées polaires, muni de la métrique :

<TBODY>

(3.22) </TBODY>

Les coefficients non nuls de la métrique inverse sont : g^rr = 1 et g = r^-2. (Nous utilisons r et comme index dans cette notation évidente.) Nous pouvons calculer un coefficient de connexion typique :

<TBODY>
		(3.23) </TBODY>

Celui ci s'annule, mais d'autres non :

<TBODY>

(3.24) </TBODY>

Continuons sur notre lancée :

<TBODY>

(3.25) </TBODY>

L'existence de coefficients de connexions non nuls en coordonnées curvilignes est à la source des formules pour la divergence, entre autres, que nous trouvons dans les livres d'électricité et de magnétisme.A contrario, même dans un espace courbe on peut annuler ponctuellement les symboles de Christoffel. Cela s'explique par le fait que nous pouvons annuler les dérivées premières ponctuellement. Ceci n'est bien sûr valable qu'au point, pas dans son voisinage.

Divergence d'un vecteur

Une autre propriété utile est que la formule de la divergence d'un vecteur (conformément à la connexion de Christoffel) prend une forme très simple. La divergence covariante de V^m est donnée par :

<TBODY>

(3.26) </TBODY>

Il est facile de montrer (voir pp. 106-108 de Weinberg) que la connexion de Christoffel satisfait

<TBODY>

(3.27) </TBODY>

Et de là nous obtenons :

<TBODY>

(3.28) </TBODY>

On peut exprimer la divergence de tenseurs de rang plus élevé, mais la formule ne se simplifie pas de cette manière. Un dernier point que nous nous devons de rappeler au sujet des connexions est le fait que la dérivée extérieure est un tenseur parfaitement défini même en l'absence de toute connexion

La raison en est que si on utilise une connexion symétrique (sans torsion), la dérivée extérieure (définie comme dérivée partielle anti-symétrisée) se révèle être égale à la dérivée covariante anti-symétrisée :

<TBODY>

(3.29) </TBODY>

Cela a conduit quelques esprits chagrins à souligner "l'ambiguïté" de la dérivée extérieure dans les espaces avec torsion, ou la simplification ci dessus ne se produit pas. Il n'y a pas d'ambiguïté, la dérivée extérieure se passe de connexion, quelle qu'elle soit et la torsion n'intervient donc pas dans la dérivée extérieure de quoi que ce soit.

Faisons le point

Avant de poursuivre notre œuvre plus avant, récapitulons ce que nous avons fait. Nous partîmes de la notion de base d'un ensemble, supposée connue (au moins informellement). Nous avons introduit le concept de sous ensembles ouverts sur notre ensemble, ce qui est équivalent à introduire une topologie et par la même nous avons promu notre ensemble "espace vectoriel". Ensuite en exigeant que chaque ensemble ouvert soit assimilable à une région de Rⁿ (avec n identique pour chaque ensemble) et aussi que les diagrammes de coordonnées puissent être assemblés sans raccord, l'espace topologique est devenu une Variété. Une Variété est une structure à la fois très souple et très puissante et se trouve munie naturellement d'un faisceau tangent, d'un faisceau de tenseurs quelconques, et de la possibilité de prendre des dérivées extérieures entre autres.

Nous avons ensuite défini une métrique sur la Variété qui est alors devenue une Variété Riemannienne. Indépendamment de la métrique nous avons défini une connexion, nous permettant de prendre des dérivées covariantes. Si nous disposons d'une métrique, nous avons montré qu'il y avait une connexion unique compatible, sans torsion, avec la métrique. Rien ne nous empêche d'ailleurs, de définir d'autres connexions et d'autres métriques sur la Variété. Nous avons résumé tout cela sur le diagramme ci dessous :

Ensemble, Espace
Topologique,Variété,Variété avec
Connexion, Variété
Riemannienne

Transport parallèle

Transport parallèle d'un vecteur

Maintenant que nous disposons du mécanisme de connexion, intéressons nous au transport parallèle. Rappelons qu'en espace plat, il n'était pas nécessaire d'être très attentifs au fait que les vecteurs étaient des éléments d'espaces tangents définis en chaque point. La comparaison (y compris les opérations telles que l'addition, soustraction, produit scalaire ..) de vecteurs se faisait naturellement en différents points de l'espace. La raison est que dans un espace plat on peut déplacer un vecteur d'un point à un autre en le gardant constant ce qui permet d'effectuer toutes ces opérations autorisées dans un espace vectoriel.

Déplacer un vecteur en le gardant égal à lui même tout au long du chemin s'appelle un transport parallèle. Comme nous allons le voir , le transport parallèle est défini quand nous avons une connexion. La manipulation intuitive des vecteurs dans un espace plat s'appuie sur une connexion de Christoffel implicite dans cet espace.

La différence cruciale entre espace plats et espaces courbes est que dans un espace courbe, le résultat du transport parallèle d'un point vers un autre va dépendre du chemin emprunté pour s'y rendre.

Sans disposer du mécanisme complet du transport parallèle, utilisons notre connaissance de la sphère (2D) pour l'illustrer. Partons avec un vecteur au niveau de l'équateur pointant vers une ligne de longitude constante. Transportons le naturellement jusqu'au pôle nord le long de cette ligne de longitude constante. Repartons du même point avec le même vecteur et transportons le parallèlement le long de l'équateur (pointant vers le nord) d'un angle, puis transportons le vers le pôle nord comme précédemment. On voit clairement sur la figure que le même vecteur transporté par deux chemins différents au pôle nord arrive avec deux positions différentes faisant un angle .

Il apparaît donc qu'il n'y a pas de moyen unique de transporter un vecteur d'un espace tangent vers un autre, nous pouvons toujours le transporter parallèlement, mais le résultat dépend du chemin suivi, et il n'y a pas de choix naturel de chemin à suivre.

Le résultat d'un transport parallèle dépend du chemin suivi

A la différence d'autres problèmes que nous avons rencontré, celui là n'a pas de solution, nous devons admettre que deux vecteurs ne peuvent être comparés naturellement que s'ils appartiennent au même espace tangent.

De la difficulté de définir une vitesse relative d'objets éloignés

Par exemple deux particules se croisant ont une vitesse relative bien définie (inférieure à la vitesse de la lumière). Mais deux particules en deux points différents d'une Variété courbe n'ont pas de vitesse relative bien définie, cette notion de vitesse relative dans ce cas est dépourvue de sens. Certes, dans certaines situations particulières il peut être utile de faire comme si cela en avait un, mais gardons à l'esprit que l'utilité ne se substitue pas à une définition rigoureuse. En Cosmologie par exemple, la lumière provenant de Galaxies lointaines, subit un décalage vers le rouge similaire à celui qui serait produit par le mouvement de récession d'une source proche. Comme ce phénomène ressemble à celui produit par un effet Doppler conventionnel du à une vitesse relative, il est tentant de dire que les Galaxies lointaines s'éloignent de nous à une vitesse définie par leur décalage spectral. D'un point de vue formel, c'est absurde, c'est ce que Wittgenstein appellerait une "faute grammaticale ", on ne peut pas dire que les Galaxies s'éloignent, puisque la notion de leur vitesse par rapport à nous, n'est pas strictement, mathématiquement fondée. Ce qui se passe en fait , c'est que la métrique de l'espace temps entre nous et les Galaxies a changé ( l'Univers s'est étendu) le long du chemin d'un photon entre la bas et ici, produisant un accroissement de la longueur d'onde de la lumière.

Un exemple qui conduit à une explication erronée, est une utilisation naïve de l'effet Doppler qui appliquée sans discernement, nous indiquerait que certaines galaxies s'éloigneraient de nous à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière, en contradiction avec la Relativité. La solution d'un tel paradoxe repose simplement sur le fait que la notion de vitesse relative n'est pas définie correctement.

Maintenant que nous avons vu ce qu'il ne fallait pas faire, regardons ce que nous pouvons faire.

Définition d'une méthode de transport parallèle

Le transport parallèle d'un vecteur est censé être la généralisation dans des Variétés courbes du concept de transport en gardant le vecteur égal à lui même autant que se peut, le long d'un chemin. Ceci vaut aussi pour les tenseurs quelconques.

Soit une courbe x^m (), dans un espace plat, le déplacement d'un tenseur le long de cette courbe, en le maintenant constant ( déplacement parallèle) est caractérisé par dT/dl = (dx^m/dl)(dT/dx^m)= 0. Définissons alors la dérivée covariante sur la courbe par l'opérateur :

<TBODY>

(3.30) </TBODY>

Nous définirons alors le transport parallèle du tenseur T sur le chemin x^m () par le respect tout au long du transport sur le chemin de la condition,

<TBODY>

(3.31) </TBODY>

C'est une équation tensorielle bien définie, car et le vecteur tangent dx^m/d et la dérivée covariante T sont des tenseurs.

Equation du transport parallèle

Cette équation est appelée équation du transport parallèle. Pour un vecteur elle prend la forme

<TBODY>

(3.32) </TBODY>

Nous pouvons considérer l'équation de transport parallèle comme un équation différentielle du premier ordre définissant un problème de valeur initiale. Etant donné un tenseur en un point d'une courbe, il n'y a qu'une seule possibilité de déplacer le tenseur le long de la courbe de telle façon que (3.31) soit satisfait. Nous dirons que nous effectuons un transport parallèle du tenseur. La notion de transport parallèle dépend manifestement de la connexion, et différentes connexions conduisent à différentes solutions. Si la connexion est compatible avec la métrique, la métrique est toujours transportée parallèlement car elle respecte:

<TBODY>

(3.33) </TBODY>

Le transport parallèle conserve le produit scalaire de vecteurs

Il s'ensuit que le produit scalaire de deux vecteurs transportés parallèlement est conservé. Si V^met Wⁿ sont transportés parallèlement sur une courbe x^s (), nous avons :

<TBODY>

(3.34) </TBODY>

Cela signifie que le transport parallèle suivant une connexion compatible avec la métrique conserve la norme des vecteurs, l'orthogonalité entre autres.

Parlons de quelque chose qu'on trouve rarement dans les livres sur la Relativité Générale et qui est l'écriture explicite de la solution générale de l'équation de transport parallèle. Remarquons que pour un chemin g: x^s (), résoudre l'équation de transport parallèle pour un vecteur V^m revient à trouver une matrice P^m_r (,l₀₎ qui relie la valeur initiale du vecteur V^m (l₀) à sa valeur ultérieure en un point du chemin.

<TBODY>

(3.35) </TBODY>

Propagateur parallèle

Evidemment la matrice P^m_r (,l₀₎ appelée le propagateur parallèle dépend du chemin g ( il n'est pas simple de trouver une notation qui l'indique sans faire passer g pour un index. Si nous définissons

<TBODY>

(3.36) </TBODY>

Où la quantité à droite est évaluée à xⁿ (), alors l'équation du transport parallèle devient :

<TBODY>

(3.37) </TBODY>

Et comme le propagateur parallèle doit s'appliquer à n'importe quel vecteur, en reportant (3.35) dans (3.37) on voit que P^m_r (,l₀₎ satisfait à l'équation :

<TBODY>

(3.38) </TBODY>

Intégrons chaque membre pour résoudre l'équation :

<TBODY>

(3.39) </TBODY>

Le symbole de Kronecker delta, est là pour normaliser l'équation pour = l₀.

Nous pouvons résoudre (3.39) par itération, en prenant le membre de droite et en le substituant dans l'expression correspondant au membre de gauche, autant que nécessaire, pour donner :

<TBODY>

(3.40) </TBODY>

Le terme de rang n de cette série est une intégrale sur un triangle rectangle à n dimensions (n-simplex ).

Il serait plus simple de considérer une telle intégrale sur un hyper cube de dimension n au lieu d'un n-simplex, y a t'il un moyen de le faire ? Il y a n! simplex de ce type dans l' hyper cube correspondant, donc nous devons multiplier par 1/n! pour compenser le volume supplémentaire. Mais nous voulons aussi obtenir l'intégrale correcte, en utilisant la notation matricielle, l'intégrale à l'ordre n est A(h_n)A(h_n-1)^...A(h₁), avec la propriété que h_n ³ h_n-1 ³ …³h₁. Nous allons définir un symbole d'ordonnancement du chemin,, pour s'assurer que la condition est remplie. Autrement dit l'expression:

<TBODY>

(3.41) </TBODY>

Indique que le produit des n matrices A(h_i ), est ordonné de sorte que la valeur la plus grande de h_i est à gauche, et que les valeurs suivantes h_i sont classées dans l'ordre décroissant. Nous pouvons alors exprimer le terme d'ordre n de (3.40) ainsi :

<TBODY>

(3.42) </TBODY>

Cette expression ne contient aucune allusion au sujet des matrices A(h_i ); c'est juste une notation. Nous pouvons écrire (3.40) sous forme matricielle ainsi :

<TBODY>

(3.43) </TBODY>

Cette formule correspond au développement en série d'une exponentielle, nous en déduisons que le propagateur parallèle est défini une exponentielle sur un chemin ordonné.

<TBODY>

(3.44) </TBODY>

Où répétons le, ce n'est qu'une notation, l'exponentielle sur le chemin ordonné est définie comme le membre de droite de (3.43). Nous pouvons donc l'expliciter ainsi :

<TBODY>

(3.45) </TBODY>

Il est agréable de disposer d'une formule explicite, même si elle est un peu abstraite. Le même genre d'expression apparaît dans la théorie quantique des champs (Formule de Dyson), pour la bonne raison que l'opérateur traduisant l'évolution dans le temps de l'équation de Schrödinger a la même forme que celui décrit en (3.38).

Holonomie d'une boucle

Signalons qu'un exemple particulièrement intéressant d'étude du propagateur parallèle est son action sur une boucle (partant et arrivant au même point). S'il s'agit d'une connexion métrique, la matrice résultante va correspondre à une transformation de Lorentz dans l'espace tangent au point en question. Cette transformation est appelée "l'holonomie" de la boucle. Si on connaît l'holonomie de toutes les boucles possibles, cela revient à connaître la métrique. Ceci a conduit Ashtekar et ses collaborateurs à considérer la Relativité générale sous l'angle de la représentation par boucle où les variables fondamentales sont les holonomies en lieu et place de la métrique explicite. Cette approche leur a permis de progresser dans la voie de la quantification de la RG sans pour autant atteindre le but recherché et entrevoir une piste pour cela.

L'équation géodésique

Le transport parallèle maîtrisé, nous pouvons maintenant nous attaquer à l'équation géodésique. Une géodésique est la généralisation aux espaces courbes de la notion de ligne droite de l'espace Euclidien. Nous avons tous ce qu'est une ligne droite, c'est le plus court chemin entre deux points. Nous pouvons en donner une autre tout aussi valable : Une ligne droite est un chemin qui transporte parallèlement son propre vecteur tangent. Dans une Variété munie d'une connexion quelconque (pas nécessairement de Christoffel), ces deux concepts ne coïncident pas, nous les examinerons séparément.

L'équation géodésique définie par le vecteur tangent

Prenons la deuxième définition, en premier, qui se révèle plus simple à calculer. Le vecteur tangent à un chemin x^m () est dx^m/d. La condition de transport parallèle s'exprime par :

<TBODY>

(3.46) </TBODY>

Ou alternativement

<TBODY>

(3.47) </TBODY>

Ceci est l'équation géodésique, une autre formule que nous devons absolument retenir. Elle se ramène à la notion de ligne droite en espace Euclidien si les coefficients de connexion sont ceux de Christoffel, car en coordonnées cartésiennes G^m_r_s= 0, et l'équation devient d²x^m/dl²= 0, ce qui correspond à celle d'une droite. C'est presque trop simple.

L'équation géodésique défini comme extremum du chemin

Examinons maintenant la première définition (distance minimum) Nous avons déjà eu affaire aux subtilités liées à la notion de distance dans un espace temps Lorentzien. Pour les chemins lumière, la distance est nulle, pour les chemins de type temps, le mieux est d'utiliser le temps propre etc. Pour simplifier considérons le cas des chemins de type temps, la solution va se révéler exacte pour tous les autres. Considérons la fonction temps propre.

<TBODY>

(3.48) </TBODY>

Où l'intégrale s'applique le long du chemin. Pour rechercher les chemins de longueur minimum, nous allons utiliser le calcul variationnel classique. (En fait l'extremum va se révéler être un maximum). Considérons comment varie le temps propre pour des variations infinitésimales du chemin.

<TBODY>

(3.49) </TBODY>

La deuxième ligne reflète le développement en série de Taylor en espace courbe, qui comme on le voit utilise la dérivée partielle, pas la dérivée covariante. Reportons ceci dans (3.48), nous obtenons :

<TBODY>

(3.50) </TBODY>

Comme x^sest supposé petit, nous pouvons développer la racine carrée de l'expression entre crochets et trouver :

<TBODY>

(3.51) </TBODY>

Il est utile de changer le paramétrage de notre courbe en remplaçant , qui était arbitraire en lui même en utilisant :

<TBODY>

(3.52) </TBODY>

Reportons dans (3.51) (note: nous le reportons pour toutes les occurrences de d), on obtient

<TBODY>
		(3.53) </TBODY>

Où nous avons intégré par parties la dernière ligne, en évitant une contribution aux limites en annulant x^s aux extrémités du chemin. Puisque nous le recherchons pour des points fixes, doit s'annuler quelque soit la variation, ceci implique:

<TBODY>

(3.54) </TBODY>

Où nous avons utilisé dg_m_s/d = (dxⁿ/d)¶_ng_m_s_. Une remise en ordre des index de sommation révèle que :

<TBODY>

(3.55) </TBODY>

Expression du symbole de Christoffel en fonction du tenseur métrique

Et si nous multiplions par la métrique inverse on arrive finalement à :

<TBODY>

(3.56) </TBODY>

Nous voyons que c'est également l'équation géodésique (3.32), mais pour une connexion utilisant spécifiquement les coefficients de Christoffel (3.21). Donc, dans une Variété munie d'une métrique, les extremums de la fonction de longueur sont les courbes qui transportent parallèlement leur vecteur tangent, eu égard à la connexion métrique de Christoffel. Le fait que d'autres connexions puissent être définies sur la même Variété, n'a aucune importance. Evidemment en Relativité Générale nous n'utiliserons que la connexion métrique de Christoffel, ce qui fait que les deux définitions sont équivalentes

L'intérêt principal des géodésiques en Relativité Générale est qu'elles représentent les chemins suivis par les particules non accélérées. En fait l'équation géodésique peut être interprétée comme la généralisation de la loi de Newton= m pour le cas où = 0.

Equation géodésique en présence de forces.

Il est aussi possible d'introduire des forces en ajoutant des termes au membre de droite, en fait si nous faisons un retour en arrière vers l'expression (1.103) exprimant la force de Lorentz en Relativité Restreinte, on peut se douter que l'équation du mouvement pour une particule de masse m et de charge q en Relativité générale va être quelque chose qui va ressembler à :

<TBODY>

(3.57) </TBODY>

Nous développerons ce point ultérieurement, et confirmerons cette intuition.

Bien qu'ayant développé ces expressions avec une certaine témérité, nous nous devons préciser, tout de même, la notion de paramétrage d'un chemin géodésique.

Paramètres affines

Nous avons paramétré notre chemin par un paramètre , quand nous avons introduit la géodésique en tant que courbe représentant le transport parallèle de son vecteur tangent (3.47), alors que nous avons pris le temps propre comme paramètre lorsque nous avons défini la géodésique comme extremum de d'intervalle d'espace temps (3.56). Ceci mérite une clarification. Une transformation telle que,

<TBODY>

(3.58) </TBODY>

pour des constantes a et b, laisse l'équation invariante. Tout paramètre en relation de ce type avec le temps propre est appelé un paramètre affine et est aussi valide que le temps propre lui même pour caractériser la géodésique. Ce qui est implicite (mais caché) derrière notre formulation de (3.47) est que l'exigence de transport parallèle du vecteur tangent contraint le paramétrage de la courbe à être dépendante du temps propre, tel que défini en (3.58). Autrement dit, si on se place en un point, qu'on pointe dans une direction initiale, et qu'on construit une courbe en commençant par marcher dans cette direction initiale et en conservant le vecteur tangent à la courbe transporté parallèlement, on ne définit pas seulement un chemin dans la Variété, mais aussi (à une transformation linéaire près) un paramètre le long du chemin. Rien n'empêche d'utiliser un autre paramétrage, mais alors (3.47) ne sera plus satisfait. Plus généralement il satisfera une équation de la forme :

<TBODY>

(3.59) </TBODY>

Pour un paramètre α(λ), où f(α) est lié au paramètre affine par

f(α) = - (d²α/dλ²)(dα/dλ)^-2

Inversement, si (3.59) est satisfait le long d'une courbe, il existe un paramètre affine () qui satisfait l'équation géodésique (3.47).

Pour les chemins temporels nous pouvons écrire l’équation géodésique soit en termes de 4-vitesse U^µ = dx^µ/dτ par :

U^µ (U^ν);µ = 0.

Soit de façon équivalente en termes de 4-impulsion p^µ = m.U^µ par :

p^µ (p^ν);µ = 0.

Cette expression montre que des particules en chute libre continuent leur mouvement dans la direction pointée par leur impulsion

Pour les chemins nuls, comme le temps propre s’annule, τ n’est pas un paramètre affine valide. Cependant il est parfaitement légitime de se demander si un chemin paramétré x^µ(λ) satisfait l’équation géodésique. Si un chemin nul est une géodésique pour un paramètre λ, ce sera aussi une géodésique pour un autre paramètre affine de la forme aλ +b. Cependant il n’y a pas de choix préférentiel parmi ces paramètres à la différence du cas des chemins temporels où c’est le temps propre qui s’impose. Quand nous aurons choisi un paramètre en un point sur le chemin, il va y avoir une continuation unique pour le reste du chemin si nous voulons satisfaire à l’équation géodésique. Il est souvent approprié de choisir la normalisation du paramètre affine λ sur une géodésique nulle de sorte que dx^µ/dλ soit égal au vecteur 4-impulsion.

p^µ = dx^µ/dλ

Notons la différence avec le cas des chemins temporels où l’expression ci-dessus désigne la 4-impulsion par unité de masse. Alors un observateur de 4-vitesse U^µ mesure l’énergie de la particule (ou de façon équivalente la fréquence du photon, si nous posons h =1) égale à :

E = -p_µU^µ

Cette expression nous donne toujours l’énergie d’une « particule » de 4-impulsion p^µ mesurée par un observateur de 4-vitesse U^µ, que p^µ soit nul ou de type temps ; ce que nous pouvons vérifier dans les coordonnées locales inertielles.

Attention cette expression pour E n’inclut pas l’énergie potentielle mais seulement l’énergie intrinsèque du mouvement et d’inertie. Dans un espace temps général, la notion d’énergie potentielle de gravitation n’est pas toujours bien définie, même si dans certains cas particuliers c’est le cas.

Conservation type d'intervalle d'espace temps sur une géodésique

Une propriété importante des géodésiques dans un espace temps muni d'une métrique Lorentzienne est que le type de l'intervalle d'espace temps (Temps/nul/espace) de la géodésique (dans le cadre d'une connexion métrique) ne change pas. C'est dû au fait que le transport parallèle conserve le produit scalaire et que le type d'intervalle d'espace temps correspond au produit scalaire du vecteur tangent par lui même. C'est pourquoi nous étions fondés à considérer des chemins purement temporels quand nous avons établi (3.56); pour les chemins de type spatial pur nous aurions obtenu le même résultat au signe près. Les géodésiques nulles satisfont aussi la même équation, sauf que le temps propre ne peut pas être utilisé (d'autres paramètres valides existent, liés par des transformations linéaires). On peut établir cela soit à partir de la contrainte de transport parallèle du vecteur, soit en généralisant la variation de (3.48) pour y inclure les chemins de type autre que spatial.

"Justification ?" que l'extremum est un maximum.

Expliquons maintenant pourquoi les géodésiques de type temps maximisent le temps propre. Etant donnée une courbe de type temps (géodésique ou quelconque), nous pouvons essayer de l'approximer, jusqu'à une précision arbitrairement donnée, par une courbe de type nul. A cet effet, nous considérons une ligne brisée constituée de segments de courbes de type nul, encadrant la courbe de type temps comme décrit ci dessous

Si, nous augmentons le nombre de segments, nous allons pouvoir réaliser une meilleure approximation tout en conservant un chemin de type nul. Les géodésiques de type temps ne peuvent donc pas être des courbes qui minimisent le temps propre puisqu'elles peuvent être arbitrairement proches de courbes de temps propre nul, en fait elles maximisent le temps propre.

Rappelez vous le paradoxe de jumeaux, celui qui reste à la maison (il reste sur terre, soumis au champ de gravitation terrestre, est ce vraiment une géodésique ?), reste sur la géodésique, et subit le temps propre maximum.

De la possible multiplicité des géodésiques

Soulignons ce que ces propos ont de cavalier. Chaque fois que nous disons "maximise" ou "minimise" nous devrions préciser "localement". Il n'est pas rare qu'entre deux points d'une Variété, il y ait plus d'une géodésique.

Par exemple sur S² nous pouvons tracer un grand cercle entre deux points, définissant deux arcs "extremum" entre les deux points mais de longueur manifestement différentes.

Utilisation des géodésiques pour baliser un voisinage : la carte exponentielle

Un dernier point à souligner, sur les géodésiques avant de passer à la courbure elle même, est leur utilisation pour relier l'espace tangent à un point p au voisinage local de p. Remarquons que toute géodésique x^m () qui passe par p peut être spécifiée par son comportement en p. Choisissons (p) = 0 comme valeur du paramètre et le vecteur tangent en p tel que

<TBODY>

(3.60) </TBODY>

Tel que k^m soit