Chapitre 7

Thermodynamique de l’univers primordial

 

7-1 Introduction

 

Nous allons maintenant nous intéresser aux conséquences du modèle de Big bang chaud, basé sur la métrique FLRW qui stipule que l’univers a débuté par un état bien plus chaud et dense que ce que nous observons aujourd’hui. En particulier, nous verrons comment nous pouvons suivre l’évolution des  densités des différents types de particules et de rayonnement tout au long de l’histoire de l’univers primordial. Ceci nous permettra de faire certaines prédictions pour les abondances  des éléments légers, des photons et des neutrinos  que nous devrions observer aujourd’hui. L’accord entre les calculs et les observations de concentration d’hélium, de deutérium,  et de lithium est une des pierres angulaires du scénario de Big bang.

Comme d’habitude pour simplifier la notation nous posons :

 

c = h = 1                                                                                                                   ( 7.1)

ce qui signifie , comme nous l’avons vu en section 2.4.1, que toutes les grandeurs dimensionnées peuvent être exprimées en terme de masse-énergie , eV ( ou plutôt MeV et GeV). Pour obtenir ces grandeurs en unités SI, on doit réintroduire les puissances appropriées de h et c dans l’expression finale. Les puissances  à introduire sont en général déterminées par l’analyse dimensionnelle (section 2 .4.2).

Par exemple, pour écrire la constante de la gravitation en termes de masse de Planck, regardons la valeur dimensionnée :

 

G = 6.672 . 10-11 m3. kg-1.s-²                                                                        (7.2)

 

Ensuite nous l’écrivons sous forme de produit h α c β mpl γ, où les constantes α,β,γ  peuvent être déterminées en imposant que la combinaison ait la même dimension que G. Ceci définit une masse de Planck telle que :

 

G = h.c/mpl²                                                                                                  (7.3)

 

De valeur numérique :

 

mpl = (h.c/G )1/2  = 1.221 . 109 GeV/c²                                                          (7.4)

 

Soit en posant c = 1

 

mpl =  1.221 . 109 GeV                                                                                             (7.5)

 

C’est une masse énorme, nous verrons que la particule élémentaire la plus lourde connue aujourd’hui est le quark t de masse 175 GeV «  seulement »

Lorsque nous parlons de la thermodynamique de l’univers primordial, il est pratique de mesurer la température  en unités d’énergie où de masse, ce qui signifie que nous posons la constante de Boltzmann kB = 1 (Dans cette échelle 1 MeV = 1.165. 1010 K).

Nous ne considérerons que la métrique de Friedmann Lemaître Robertson Walker, ( FLRW) , dont l’équation de Friedmann (4 .16) dérive de la composante temporelle de l’équation d’Einstein :

 

H²(t)+ k/a² = 8 πGρ/3                                                                                              ( 7.6)

                                                                                             

Où comme d’habitude, le paramètre de Hubble H = H(t) = a’ (t)/a(t), avec H aujourd’hui = H0 = h.100km/s -1.Mpc-1, et selon les observations récentes h = 0,73.

 

Introduisons

 

Ω=ρ/ρ crit                                                                                                                  (7.7)

 

Où la densité critique ( qui correspond à k=0) est donnée par

 

ρcrit = 3H²/8πG                                                                                                         (7.8)

 

Aujourd’hui la densité critique correspond à

 

ρ0crit = 1,9h².10-29 g .cm3                                                                              (7.9)

 

 

Aujourd’hui, les observations semblent indiquer une contribution de matière de 0.3 et d’énergie sombre de 0.7 à . Nous verrons que le modèle cosmologique avec inflation prédit = 1, ce qui et conforme aux observations. Il y a différentes contributions à , telles qu’indiquées (ainsi qu’une contribution radiative aujourd’hui négligeable). Dans ce chapitre nous introduirons k , densité de courbure déduit de k. Dans l’univers primordial le facteur de courbure est moins important. On peut le montrer comme suit. Les équations du mouvement pour la matière dans l’univers sont régies par l’annulation de la divergence covariante du tenseur énergie impulsion.

 

Tαβ ;β = 0                                                                                                                   (7.10)

 

Pour la métrique FLRW cela donne :

 

d/dt(ρ.a3) = -p.d/dt(a3)                                                                                              (7.11)

 

Qui montre que la variation d’énergie dans un élément de volume co-mobile est égale à la pression multipliée par le changement de volume (avec le signe-).

Nous avons vu au en section 4.2) que cela peut s’écrire :

 

a3 dp/dt = d/dt[a3 (ρ +p)]                                                                              (7.12)

 

Qui comme nous le verrons peut être interprétée comme la loi de conservation de l’entropie dans un volume a3(t).  Pour le rayonnement où p = ρ/3, l’équation (7.11) donne ρ proportionnel à a-4. Notons que les particules «  relativistes » dont l’énergie cinétique est supérieure à l’énergie au repos, se comportent comme du rayonnement.

Si c’est la matière qui domine, ρ est proportionnel à a-3. Dans tous les cas, nous verrons que pour a petit, le terme de courbure k/a² est beaucoup moins important que la densité d’énergie ρ. De plus la constante cosmologique, dont la contribution aujourd’hui est importante était complètement négligeable à cette époque (sauf pendant l’hypothétique période d’inflation où sa valeur est supposée colossale).

L’équation de Friedmann pour l’univers primordial se simplifie alors en :

 

H²(t) = 8 πG ρ/3                                                                                                       (7.13)

 

Où en première approximation seules les espèces relativistes contribuent de manière appréciable (Nous quantifierons cette assertion dans la suite). Remarquons que le paramètre de Hubble H(t) = a’(t)/a(t)  a les dimensions de l’inverse d’un temps. Dans nos unités cela lui confère les dimensions d’une masse. En section (4.5.1) nous avons vu que l’ordre de grandeur de l’âge de l’univers [le facteur naturel d’échelle] est de 1/H, du moins si la loi d’échelle est en puissance de t.

Nous voulons maintenant traiter la thermodynamique d’un univers en expansion. La première question à se poser est : est ce bien raisonnable et possible ?

Un point crucial est la compréhension au niveau microscopique, de la thermodynamique, en terme de mécanique statistique portant sur un grand nombre de particules élémentaires (quanta). En général, l’équilibre statistique requiert un nombre incessant d’interactions entre les constituants du système.

Si la fréquence d’interactions est suffisante, alors la description  de l’évolution de l’univers à travers une séquence d’états en équilibre thermique est bonne et nous pouvons utiliser les paramètres thermodynamiques, la température T, la pression p, la densité d’entropie s, et d’autres à chaque instant t pour décrire l’état de l’univers.

Si les constituants de l’univers de densité numériques n et de vitesses relatives v, interagissent par diffusion élastique de section efficace σ, le taux Г d’interaction par particule est donné par Г = n.σ.v. La condition d’équilibre est que le taux d’interaction doit être bien plus grand que le taux d’expansion de l’univers.

 

Г  >> H                                                                                                                    (7.14)

 

Typiquement, la densité numérique des particules, décroît plus rapidement avec la température que le paramètre de Hubble. Cela implique que certaines particules vont quitter l’équilibre thermique à certains instants de l’histoire. La densité numérique va être gelée à une valeur particulière qui ne va évoluer qu’à travers la dilution liée à l’expansion de l’univers.

Comme nous le verrons ce passage hors équilibre des particules est un mécanisme important qui peut expliquer en grande partie la teneur en particules de l’univers observé aujourd’hui.

 

7-2 Equilibre thermodynamique

 

Nous travaillons dans l’approximation, d’un gaz dilué interagissant faiblement, où la fonction de distribution fi(p) pour les particules d’espèce i est donnée par :

 

     est l’énergie , µi le potentiel chimique et T est la température ( rappel : kB =1).

Le signe « moins » est pour les particules qui suivent la statistique de Bose Einstein (bosons) et le signe « plus » est pour les particules qui suivent le principe d’exclusion de Pauli (statistique de Fermi-Dirac : fermions). On admet en général que le potentiel chimique peut être négligé dans l’univers primordial.

Un autre paramètre important est le nombre gi de degrés internes de liberté de la particule,  qui s’ajoutent indépendamment aux densités numériques, d’énergie, à la pression, etc

 

[En effet, on va considérer in fine, le mélange de particules différentes comme constituant un seul gaz à «  l’équilibre » , chaque degré de liberté des particules étant considéré comme une particule différente. La démarche va consister à calculer, les lois pour une espèce i et ensuite à combiner toutes les espèces participant à un moment donné à l’équilibre thermique, avec leurs degrés de libertés, pour calculer les lois globales liées au mélange qui participe à l’équilibre, voir ce qui se passe quand une espèce quitte l’équilibre etc…]

 

Dans le chapitre précédent nous avons énuméré les degrés de liberté des particules du modèle standard. Le photon a deux états de polarisation donc gγ = 2. Les neutrinos n’ont qu’un état de polarisation, donc gν = 1, les électrons et les muons ont ge = 2 ( et même nombre pour les anti particules).

Fort de ces définitions nous pouvons écrire  la densité numérique d’une espèce i :

[Le facteur (2π)3 vient du fait que la taille de la maille de référence du  réseau d’ impulsions,  dans l’espace « dual » associés à une boite de dimension L, donc de volume L3 vaut L/2π .]

 

et la densité d’énergie

 

 

Figure 7.1 : Densité numérique (b) et densité d’énergie (a) pour les fermions et les bosons (qui participent à l'équilibre thermique), fonction de T/m. Les grandeurs ont été normalisées à l’expression relativiste pour les bosons : nR (BE) = ζ(3)giT3/π² et ρR (BE) = π ²giT4/30, respectivement.

 

Et sa pression

 

 

Comme les fonctions de distribution ne dépendent que de | p| , nous prenons d3p à p²dpdΩ (avec p = |p| ) où l’intégrale sur dΩ donne juste un facteur 4 π [ on fait l’intégrale de « volume » en coordonnées « sphériques »]. En différentiant la relation  (voir équation 2.44) Ei² = p² +mi² nous obtenons p.dp = EidEi, de sorte que :

 

 

Les expressions résultantes pour n(T) et ρ (T) sont montrées sur la figure 7.1 (a) et (b). Remarquons deux choses, premièrement pour T/m petit, quand les particules ne sont pas relativistes, il n’y a pas de différence entre les bosons et les fermions, et deuxièmement les densités chutent très rapidement  (exponentiellement) lorsque la température décroît.

[Remarquons également que le nombre « n » dépend de la température, ce qui veut dire que la densité de particules, n’est pas invariante, elle dépend de la température, ce qui est un résultat bien connu de la théorie des champs]

Dans la limite non relativiste T/m << 1, on peut résoudre les intégrales analytiquement, ce qui donne les résultats suivants  (pour les particules de statistiques  Fermi Dirac et Bose Einstein)

 

 

[E ] = m + 3T/2 dans le cas non relativiste. Si nous réintroduisons les unités, cela s’écrit :

 mc² + 3kB T/2. On retrouve le résultat connu que hors de son énergie au repos, l’énergie thermique moyenne d’une particule ponctuelle est + 3kB T/2)

 

Dans l’approximation ultra relativiste, T/m >> 1, les intégrales peuvent aussi être résolues analytiquement et donnent :

 

 

ζ est la fonction zéta de Riemann ζ (3) = 1.20206. L’énergie moyenne d’une particule relativiste s’obtient par le rapport ρ/n , ce qui donne :

 

et

 

 

Pour les photons de masse m =0 et g = 2, l’expression   ργ= k.T4 est la fameuse loi de Stefan Boltzmann de l’émission radiative du corps noir.

Attaquons nous maintenant au calcul de la contribution totale à la densité numérique et d’énergie de toutes les sortes de particules dans l’univers primordial. Comme nous avons vu que la densité numérique et d’énergie  des espèces non relativistes est exponentiellement atténuée comparée aux espèces relativistes, souvent on fait l’approximation que seulement les particules relativistes sont à l’équilibre à ces températures. Ceci signifie  que la densité d’énergie va avoir la forme de la loi de Stefan Boltzmann.

Où le facteur de dégénération effectif  geff (T) représente le nombre total de degrés de libertés internes (spin, couleur,etc..) des particules relativistes et à l’équilibre thermique à la température T ( celles dont mi << T). L’expression pour geff (T) contient aussi le facteur 7/8 pour les fermions qui intervient dans la formule (7.23)   pour ρ(T) ( voir équation 7.30) ci dessous.

Il est instructif de calculer geff (T) pour une température disons de 1 TeV quand toutes les particules du modèle standard sont relativistes et à l’équilibre thermique. Le nombre total de degrés de liberté interne des fermions est de 90 et pour les bosons de jauge et de Higgs 28, alors geff vaut :

 

S’il arrive (comme nous le verrons pour les neutrinos) que le taux d’interaction devient plus petit que le taux d’expansion, alors ces particules vont avoir une température inférieure à celle des photons, bien qu’étant toujours relativistes (Les neutrinos seront insensibles au réchauffement  qui affectera les photons car il se produira après que ces neutrinos se seront découplés). On peut en tenir compte en introduisant une température spécifique Ti pour chaque sorte de particule relativiste, qui peut être inclus dans le gi effectif.

 

 

Si nous insérons cette expression dans l’équation de Friedmann (7.13) nous obtenons  pour la période radiative de l’univers primordial :

 

 

soit

 

 

Ceci est une des formules les plus importantes de la physique de l’univers primordial. Des relations entre le facteur d’échelle a et le temps que nous avons établi en section (4.2) nous obtenons (voir équation 4.28)

 

 

Pour une équation d’état p = ρ/3. Pour l’époque (ultérieure) dominée par la matière, p =0, on trouve

 

 

Donc pour l’époque radiative

 

 

et la relation temps- température devient

 

C’est une formule qu’il convient de mémoriser, valide pour les températures cruciales, autour de 1 MeV, où l’essentiel de la nucléosynthèse et le découplage du neutrino se sont produits, comme nous le verrons.

 

7.3 Entropie

 

Déterminer quelles particules sont en équilibre thermique à une température donnée, ainsi nous pourrons calculer geff (T). Considérons d’abord quelques relations thermodynamiques de base ; En particulier, nous allons montrer que dans le cas de l’équilibre thermique, l’entropie dans un volume a3 (t) est conservée.

L’entropie S (V,T) a été introduite comme une des équations clés  de la thermodynamique  par sa variation.

 

Identifions les  fonctions  coefficients multipliant  dT et dV  de cette expression avec ceux de la forme générale d’une différentielle.

 

Nous trouvons

 

 

Et

 

 

Egalons les dérivées mixtes

 

 

Cela donne

Ce qui peut être simplifié en :

 

 

Ce qui peut être déduit également directement de des équations (7.17) et (7.18). En reportant cela dans (7.37) on obtient :

 

Qu’on peut immédiatement intégrer pour montrer que l’entropie S(V,T) est, à une constante d’intégration près , donnée par :

 

Rappelons nous l’équation (7.12)

 

 

Combinée avec (7.43), on peut l’écrire

En identifiant le volume V à a3(t) et en comparant avec (7.45), nous trouvons finalement la conservation de l’entropie  dans le volume a3(t) ainsi que nous l’avions annoncé. Quelquefois il est plus judicieux de travailler avec la densité d’entropie s(T) plutôt qu’avec l’entropie totale s(V,T) dans le volume V. La définition est alors

 

 

(Cette partie a été plutôt formelle. L’important est de mémoriser les expressions (7.45) pour l’entropie, (7.48) pour la densité d’entropie et l ‘équation de conservation (7.47)

Dans l’univers primordial, et la densité d’énergie ρ, et la pression p étaient dominées par les particules relativistes avec l’équation d’état p = ρ/3. En utilisant (7.48) et les expressions relativistes  (7.27,7.28) pour la densité d’énergie et la pression, nous trouvons finalement pour la densité d’entropie s :

 

 

 

gseff  est défini de façon similaire à geff :

 

 

Comme s et nγ varient tous deux comme T3, il y une relation simple entre eux.

 

On trouve

 

Considérons maintenant la question du découplage des neutrinos de l’équilibre thermique  dans l’univers primordial. Comme nous l’avons indiqué, les particules interagissant faiblement comme les neutrinos, se découplent en dessous d’une température Tdec quand le taux d’interaction entre les particules n’est plus assez rapide  pour lutter contre l’expansion de Hubble de l’espace. Les médiateurs des  interactions faibles sont les particules W et Z qui sont massives mw  = 80 GeV et mz = 91 GeV.  A des températures bien inférieures à 80-90 GeV les bosons W et Z sont virtuels de sorte  que leurs propagateurs sont en 1/m²w (voir chapitre 6.10.1)

Nous avons montré au chapitre 6.10.1 que la section efficace pour les interactions faibles est proportionnelle à α²s /m4w

Pour des neutrinos relativistes (compte tenu de leur très faible masse présumée, c’est toujours le cas),  en général la condition est mν << T  et pour les leptons relativistes chargés, une réaction typique maintenant l’équilibre thermique  telle que νe + e+ à νµ + µ+ va suivre un taux σweak ≈ α²T²/m4w.  Ceci est dû au fait que s dépend du carré de d’énergie des particules en réaction, et l’énergie moyenne est proportionnelle à T. Le taux d’interaction Г = σ|v|n, (comme |v| =c=1 et n ≈ T3), vaut alors :

Nous devons comparer ceci au taux d’expansion H. Comme nous l’avons vu (1.32) H ≈ T²/mpl, donc le rapport devient :

Le découplage se produit quand ce rapport tombe sous l’unité, soit

Qu’arrive t’il quand les neutrinos se sont découplés. Tous les neutrinos vont se comporter en particules libres suivant l’expansion de Hubble. Ce qui implique que leurs énergies vont être réduites, comme pour les photons par le facteur d’expansion a/adec. Il vont rester dans une distribution ( Fermi Dirac) d’équilibre thermique de température :

Si nous nous appliquons la conservation de l’entropie à l’équilibre thermique

 

Nous voyons que :

 

Donc même après son découplage, la distribution de neutrino va être la même que s’il était resté à l’équilibre thermique (distribution gelée) tant que gseff ne change pas.  Cependant gseff va changer quand les électrons et les positons vont cesser d’être relativistes  et vont s’annihiler par la réaction e+e- à γγ. Cela se produit à une température de 1 MeV , car en dessous la réaction inverse γγ.à  e+e- , n’est plus cinématiquement possible ( la masse au repos d’une paire positon électron est de 1.02 MeV). Calculons le nombre de degrés de libertés avant et après l’annihilation e+e- .Les neutrinos sont déjà découplés, donc à une température sensiblement supérieure à 1 MeV les espèces relativistes en équilibre thermique sont e+e-  et les γ, ce qui donne (gseff ) avant = 2.2.7/8  + 2 = 11/2 alors qu’en dessous de 1 Mev,  seuls les photons sont en équilibre thermique donnant (gseff ) après = 2.

Comme l’entropie totale des particules à l’équilibre est conservée :

 

 

Ce qui implique

 

 

Il y a un transfert d’entropie des particules e+ e- qui se découplent aux photons, qu’on appelle un «  réchauffement » (bien qu’en fait la température n’augmente pas, simplement elle décroît plus lentement pour les photons du fait du transfert d’entropie). Par contre, les neutrinos déjà découplés, ne bénéficient pas du « réchauffement ». Ils ne font que suivre la loi due à l’expansion de l’univers (aTν)avant = (aTν)après . On peut l’interpréter en disant que l’entropie est conservée séparément après le découplage. Cela implique une différence de température entre les photons et les neutrinos après le découplage e+e-, de :

Comme le RFC ( photons) a maintenant une température de 2.73K, il doit y avoir un fond de neutrinos cosmologique ayant un spectre d’énergie de Fermi Dirac de température Tν = 1.95 K. Comme des neutrinos d’une énergie aussi faible interagissent très faiblement avec la matière, c’est un défi extrême pour la physique expérimentale du 21 ième siècle de les détecter directement.

Quelle est l’entropie totale  et la densité d’énergie du rayonnement aujourd’hui ? C’est donné par les contributions des photons et des trois espèces de neutrinos (νeµ, ντ) soit

 

Et

 

Pour la densité d’énergie totale du rayonnement ceci donne :

 

Ce qui correspond à une contribution à = ρ/ρcrit de :

 

 

La densité numérique des photons du RFC vaut :

Pour T = T0 = 2,73 K.  Bien que contribuant faiblement à aujourd’hui, le RFC quand il a été émis a joué un rôle important dans la dynamique de l’univers. L’utilisation la plus importante du RFC est liée au fait qu’il nous propose un «instantané» de l’univers à un redshift de 1100 environ. Dans le chapitre 11.2, nous verrons comment des différences minuscules de température réparties dans toutes les directions du ciel,  nous donne des indices sur la manière dont l’univers s’est formé.  Peut il y avoir d’autres vestiges de l’univers primordial, d’autres types de rayonnements ? On est en droit de supposer que les gravitons, les particules de jauge de la gravitation existent. Etant reliées à la gravitation, l’échelle de masse pour leur interaction  est la masse de Planck, σ grav ~ T²/M4pl   et  Г grav /H ~ T3/m3pl, ce qui fait que leur température de découplage doit être énorme, T dec ~ mpl ~1019 GeV.

Nous avons vu avant que le nombre de degrés de libertés est très grand, à très haute température. A l’échelle de Planck, il devait être encore beaucoup plus grand du fait de la présence de particules lourdes prévues par la super symétrie et la grande unification.

 

La contribution à la densité d’énergie actuelle est donc, puisque ρ ~ T4, ρ grav < 0.012 ργ.

Après le découplage des particules relativistes, leur contribution à la densité d’énergie diminue en 1/a4 ( car  ρ = T4 et aT ~ constante ). Pour la matière non relativiste, cependant la densité d’énergie s’écrit maintenant :

Et pour les particules stables ( comme les baryons) n N ~ 1/a3 ~ T3. Donc, en fait l’univers est devenu dominé par la matière. Quand cela arriva t’il ? La contribution de la matière à la densité d’énergie s’écrit maintenant :

 

Alors

Avec la notation habituelle pour le facteur de redshift : 1 + z = a0/a . De même :

En égalant (7.68) et (7.69) on obtient :

 

 

et ( voir exemple 4.5.1, nous supposons ~ 1)

 

Comme nous l’expliquerons dans le chapitre de formation des structures, le moment ou la matière a commencé à dominer l’univers est très important, car c’est seulement à partir de là que les structures ont pu commencer à croître.

 

Résumé

 

- Dans l’univers primordial, le taux d’expansion a dépendu essentiellement des particules relativistes. La contribution à la densité d’énergie de ces particules relativistes est

 

Ici, on a pris en compte la possibilité d’avoir des températures effectives différentes.

 

 

Pour les particules non relativistes on obtient :

 

- pendant l’ère radiative (les quelques premières centaines de milliers d’années) le taux d’expansion est donné par :

Et la relation entre la température et le temps autour de 1 MeV était :

- L’entropie totale  S(V,T) dans une région de l’univers a été conservée pendant les périodes d’équilibre thermique,

La densité d’entropie est donnée par :

 

Avec

- Les neutrinos se sont découplés à une température d’environ 4 MeV, mais leurs fonctions de distribution ont conservé le profil thermique, simplement décalés vers le rouge par l’expansion cosmique. Mais comme ils étaient déjà découplés au moment du «  réchauffement » quand les électrons et les positrons sont devenus non relativistes, le fond de neutrinos cosmologique est plus froid que celui des photons.

 

- la contribution du RFC à la densité d’énergie aujourd’hui n’est que de :

 

 Et la densité numérique est donnée par la formule (7.64)