ANNEXE B

Dynamique Relativiste

B1. Mécanique classique

 

Formulation Lagrangienne.

 

L'équation du mouvement d'Euler Lagrange s'obtient en exprimant que l'intégrale d'action du Lagrangien entre deux points est extremum sur la trajectoire.

 

                        dòL (qi, q'i,t) dt = 0                                                                 (B4)

 

On en déduit les équations du mouvement

 

                        L/qi - (d/dt)(L/q'i) = 0                                                     ( B8)

 

Que l'on peut exprimer sous sa forme la plus générale si le Lagrangien dépend d'un champ

                                                                                 

Définition du Hamiltonnien

 

            H = Si pi.q'i - L [ q, q'(p,q)]                                                                            (B12)

 

Avec les moments conjugués

 

            pi = L (q,q')/q'i                                                                                                                          (B11)

 

L'équation du mouvement sous sa forme Hamiltonnienne est alors

 

                        q'i = H/pi  , p'i = H/qi                                                                  (B15)

avec

 

     q'i = H/pi ,          -  L/qi  = H/qi                                                                 (B16)

 

Prenons un exemple simple:

 

                                                                                           (B.17)

Cela donne

                                                                                             (B-18)

Comme q' = p/m.  Alors

                                                                (B.19)

Les équations de  Euler Lagrange

                              

                                                 (B.20)

donnent alors mq" = F, comme on s'y attend.

 

B.2 Champs Classiques

 

B2-1 Etablissement de l'équation de Klein Gordon

 

Considérons un exemple important de notre formalisme. Considérons un système de N particules, se déplaçant sur une dimension, connectées entre elles par des ressorts de masse supposée nulle générant une force de rappel constante k (voir Fig.  B.2). Les particules sont séparées les unes des autres par une distance"a" à l'équilibre.  Soit fi l'écart par rapport à la position d'équilibre de la  particule i. Alors le Lagrangien est

                     

                    (B.21)

 

Li est la contribution à la densité de  Lagrangien (Lagrangien par unité de longueur) de la particule i. Nous pouvons passer à la limite,

 i ® x, Si®ò dx, fi ®f(x), (fi+l - fi)/a ®f/x,  m/a ®r  (densité de masse) et

 ka ®k , ( module deYoung).  Le Lagrangien continu devient alors

 

                                                                      (B.22)

Nous pouvons alors écrire l'action

 

                                                                    (B.23)

 

 

Figure B.2: système de particules classiques identiques de masse m, connectés par des ressorts de force constante k. La distance à l'équilibre entre les particules est a.

 

 

Avec la densité de Lagrangien

          (B.24)

 

Dans cet exemple, f(x, t) est le champ de déplacement.  Un champ est une fonction de l'espace et du temps: Il contient un nombre infini de degrés de libertés. (Pour spécifier complètement un champ, il faut donner sa valeur en tout point de l'espace et du temps). La construction que nous avons fait dans cet exemple unidimensionnel est facile à généraliser à trois dimensions. Alors

                                                  (B.25)

Ce qui nous permet d'écrire les équations d' Euler Lagrange.

 

                                       (B.26)

 

Nous remarquons que nous pouvons écrire (B.26) sous sa forme relativiste invariante.

                                                              (B.27)

 

Ceci est invariant par transformation de Lorentz, si L étant une densité de scalaire (on a,  L'(x' m) = L(xm) en RR

Comme premier exemple réaliste nous considérons un champ scalaire réel j(x) (Ceci peut être par exemple le champ scalaire de Higgs de la physique des particules). La densité de Lagrangien non triviale, la plus simple est donnée par

                                                                                                                      (B.28)

                                      

 

   L'équation d' Euler Lagrange (B.27) donne l'équation du mouvement.

 

                                                                                         (B.29)

   soit

 

L'équation de Klein Gordon.

 

                                                                                         (B.30)

 

qui est une équation d'onde relativiste comme nous l'avons déjà remarqué.

 

[ remarquons qu'on peut directement dériver cette équation de l'expression de l'énergie en Relativité Restreinte

E² = p²c² + m²c4

En associant l'opérateur iht   pour l'énergie et (h/i) xi pour le moment cinétique et en l'appliquant  à la fonction d'onde.]

 

Il y a aussi une formulation Hamiltonnienne de la théorie classique des champs. Aux coordonnées généralisées j(r, t) au point (t, r) de l'espace temps, il y a un moment canonique p(r,t), défini par

                                                                                (B.31)

Pour le champ scalaire réel à potentiel indépendant du temps, cela donne

                

                                                                                  (B.32)

 

La densité de Hamiltonnien est alors

 

                                                                   (B.33)

                                               

En intégrant cette densité sur l'espace, nous obtenons le Hamiltonnien complet, H = òv d3rH qui représente l'énergie totale du champ.

 

B2-2 Quelques rappels généraux sur l'espace de Hilbert et son utilisation en Mécanique quantique

 

L'espace de Hilbert

 

 

États et vecteurs, observables et opérateurs

 

Le remaniement conceptuel impliqué par le quantum d'action, amorcé par la modification du statut des concepts, poursuivi par l'élaboration du concept d'amplitude de probabilité, atteint sa forme achevée, épanouie, avec l'espace de Hilbert.  Rarement autant qu'à l'occasion de ce remaniement l'harmonie a été aussi bonne entre les besoins du développement de la physique théorique et les moyens que fournissent les mathématiques.  L'espace de Hilbert est, au départ, une pure construction mathématique, mais qui se trouve répondre parfaitement à ce qui était nécessaire à l'élaboration de la théorie quantique.  Si l'espace de Hilbert n'avait pas été découvert, il aurait fallu l'inventer pour les besoins de la théorie quantique !

Mathématiquement, l'espace de Hilbert représente une généralisation du concept d'espace vectoriel métrique (l'espace ordinaire et l'espace-temps de Minkowski sont des espaces vectoriels métriques). 

 

L'espace de Hilbert est un espace vectoriel de fonctions.

 

 Dans notre cas ces fonctions vont être les fonctions d'onde y que l'on considère comme un vecteur, dont une base est fournie par un ensemble ( infini) de fonctions yi orthogonales et normées   au sens où l'intégrale du produit  satisfait à  òyiyj  = dij

 

Les transformations qui agissent sur des vecteurs de l'espace et les transforment en d'autres vecteurs du même espace sont des opérateurs*.  Vecteurs et opérateurs ont des propriétés de linéarité : toute combinaison linéaire, à coefficients complexes, de vecteurs est un vecteur ; un opérateur transforme un vecteur en un autre vecteur, et toute combinaison linéaire de vecteurs en un vecteur.  Le produit scalaire de deux vecteurs associe à ces deux vecteurs un nombre complexe qui dépend linéairement de chacun des deux vecteurs.  Ce produit scalaire généralise les produits scalaires que nous avons rencontrés dans l'espace ordinaire et l'espace-temps de Minkowski.  Dans l'espace de Hilbert, le produit scalaire se définit à l'aide de l'intégrale du produit des deux fonctions qui représentent les deux vecteurs.

 

 

Comme les concepts quantiques sont adaptés à la description des phénomènes, le formalisme de la théorie quantique s'intéresse d'une part aux états du système physique et d'autre part aux grandeurs physiques observables relativement à ce système.  Les états sont associés aux vecteurs d'un espace de Hilbert, et les observables aux opérateurs qui agissent dans cet espace.  Cette double association répond à tous les problèmes que nous avons évoqués plus haut : les amplitudes d'état sont les vecteurs de l'espace de Hilbert, la linéarité de l'espace de Hilbert assure l'additivité des amplitudes d'état ; l'amplitude de transition entre deux états est associée au produit scalaire des deux vecteurs qui les représentent ; l'association d'un opérateur à une observable permet de prendre en compte l'effet sur le système de l'acte de mesure :

 

Mesure d'observable

 

Mesurer une observable relativement à un système dans un état donné modifie, en général, l'état du système de la même façon qu'un opérateur transforme un vecteur en un autre vecteur. 

C'est pourquoi tout état du système ne permet pas nécessairement la mesure de toute observable.  Mais une notion essentielle des espaces de Hilbert nous permet de définir les états permettant la mesure des observables.  Un vecteur de l'espace de Hilbert est dit vecteur propre* d'un opérateur si l'action de cet opérateur sur ce vecteur consiste à le multiplier par un nombre appelé valeur propre.

Vecteurs propres et valeurs propres sont très utiles si on veut associer vecteurs et états, opérateurs et observables : puisque, à une constante multiplicative près, un vecteur propre est laissé invariant par l'action de l'opérateur, l'état physique associé à ce vecteur permet la mesure de l'observable associée à l'opérateur dont le vecteur est vecteur propre.  Quant à la valeur propre, on pourra l'associer à la valeur de l'observable mesurée dans l'état.  Comme la valeur d'une grandeur physique mesurable est un nombre réel, les opérateurs associés aux observables doivent avoir des valeurs propres réelles ; les opérateurs qui ont cette propriété sont dits hermitiques*.

 

Opérateurs Hermitiques

 

[Rappelons qu'un opérateur Hermitique est égal à son adjoint ( A = A+), l'opérateur adjoint étant le transposé du conjugué ( f et g étant des fonctions) .

          òf.A+.g .dt = òg.A*.f .dt ,            A* étant l'opérateur complexe conjugué de A.

Si A est Hermitique,  cela implique entre autre que   òg*.(Ag) dt = [òg*(Ag) dt ]*

Si A est Hermitique et linéaire , l'intégrale  òg*.(Ag) dt est alors réelle.

Ce qui est nécessaire car cette équation représente des grandeurs physiques réelles

 

Par exemple l'opérateur  A = ²/x est Hermitique, /x ne l'est pas mais i/x l'est.

Fait important en mécanique quantique, le Hamiltonien est un opérateur Hermitique.

Pour terminer sur ce point signalons que si A et B sont des opérateurs Hermitiques, leurs produits  AB et BA en général ne le sont pas mais que (AB + BA)/2 l'est. Le produit n'est pas nécessairement commutatif. Si AB = BA, les opérateurs commutent,

 mais si AB ¹ BA les opérateurs ne commutent pas.]

 

Opérateur Hamiltonien

 

L'opérateur le plus important de la théorie quantique est l'opérateur hermitique associé à l'énergie totale du système, le hamiltonien*.  L'ensemble des valeurs propres du hamiltonien est appelé spectre du système.  Pour un système atomique, le spectre comporte une suite discrète de valeurs propres, correspondant aux niveaux d'énergie de l'atome (niveau fondamental et niveaux excités), et un continuum correspondant à l'ionisation par arrachement d'électron.

 

 

Complémentarité et relations de commutation

 

En théorie classique, les observables (les quantités physiques à mesurer) ne sont pas associées à des opérateurs mais à de simples nombres.  Le produit de deux nombres est commutatif:

 

ab=ba

 

par contre, le produit de deux opérateurs n'est pas nécessairement commutatif.  On dit que deux opérateurs A et B commutent si leur commutateur* noté [A,B]=AB-BA est nul.

Si deux opérateurs commutent, les vecteurs propres de l'un sont vecteurs propres de l'autre.  Puisque des opérateurs qui commutent partagent leurs vecteurs propres, on peut dire que les observables qu'ils représentent sont compatibles : on peut mesurer ces observables dans le même état. 

En revanche., on voit clairement qu'une caractéristique de l'incompatibilité entre des observables est la non-commutation des opérateurs qui les représentent. 

Supposons que deux observables soient quantiquement incompatibles, comme par exemple la position et l'impulsion d'une particule que nous notons q et p, les opérateurs qui les représentent Q et P ne commutent pas.  Un vecteur propre de Q par exemple représente un état dans lequel la position peut être mesurée.  Mais ce vecteur propre n'est pas vecteur propre de P. L'action de P sur ce vecteur le transforme en un vecteur qui n'a rien de commun avec lui.  Cela signifie qu'on ne peut pas mesurer l'impulsion dans un état où la position peut être mesurée, et vice versa.  C'est l'expression rigoureuse de l'inégalité de Heisenberg que nous avons mentionnée au chapitre précédent.

La commutation (et surtout la non-commutation) des observables est l'une des propriétés les plus spécifiques de la théorie quantique.  C'est elle qui permet de donner un sens précis à l'idée de la complémentarité. 

Une représentation est définie par un ensemble* complet d'observables qui commutent.  Les vecteurs propres communs à toutes ces observables définissent une base* de l'espace de Hilbert.  Si l'ensemble d'observables qui commutent est bien complet, la base de l'espace de Hilbert est aussi complète.  Cela signifie que tout vecteur de l'espace de Hilbert, c'est-à-dire l'amplitude d'état de tout état possible du système, peut être obtenu par combinaison linéaire des vecteurs de base.  Autrement dit, une représentation est déterminée par un ensemble complet d'observables compatibles, fournissant toute l'information qu'il est possible de recueillir sur un système quantique.

Ce qui est nouveau par rapport à la théorie classique, c'est qu'il peut exister une deuxième représentation, c'est-à-dire un deuxième ensemble complet d'observables qui commutent, mais qui ne commutent pas avec celles de la première représentation.  On dit alors que les deux représentations sont complémentaires.

L'espace de Hilbert et la complémentarité représentent une généralisation de la conception de l'espace, de la conception de la covariance et de la conception de l'objectivité face aux contradictions de l'élémentarité.  Si on considère l'espace comme un espace d'objectivité, permettant d'appréhender les propriétés intrinsèques, indépendantes de la réalité, l'existence du quantum d'action rend insuffisant l'espace ordinaire de la physique classique pour penser la nouvelle objectivité quantique.  C'est l'espace de Hilbert qui est l'espace de l'objectivité quantique.  Quant à la complémentarité, elle généralise, dans cet espace, le concept de covariance qui fonctionnait dans l'espace ordinaire, les ensembles complets d'observables qui commutent jouant le rôle de référentiels.

 

 

 

 

B.3 Champs quantiques Relativistes

 

Une application importante de la théorie des champs scalaires est dans la physique du solide. Il ressort clairement ( c'est le cas de le dire) de la dérivation de la théorie classique des champs scalaires classiques  décrite au § B.2, que ceci décrit les vibrations d'un cristal, qui sont des ondes acoustiques. Si nous remplaçons la vitesse de la lumière par la vitesse du son, nous pouvons utiliser la théorie quantique des champs scalaires que nous allons développer ci après pour décrire les vibrations quantifiées appelées phonons.

 

B.3.1 Le Champ de Klein Gordon

 

Quand nous quantifions une particule ponctuelle en mécanique quantique, nous traitons les coordonnées généralisées q (les coordonnées cartésiennes xi dans le cas le plus simple ) et les moment cinétiques pi comme des opérateurs.  Ils satisfont les relations de commutation de la mécanique quantique.

 

                                                                                              (B.34)

 

Et la fonction d'onde  y est la représentation du vecteur d'état sur lequel, ces opérateurs agissent.

L'équation de Klein Gordon étant une équation d'onde, elle doit avoir des solutions de type ondes planes.  Nous pouvons imaginer notre système inclus dans une grande boîte de volume V, et nous imposons des conditions aux limites de la boîte habituelles telles que cela corresponde à un nombre entier de périodes ( nous ferons éventuellement tendre la limite V ®¥, bien sur). Développons le champ scalaire réel j à un instant donné en termes d'ondes planes.

 

                                                 (B.35)

                                          

 

 

 

 

 

Où nous avons introduit 1/Ö(2Vw) pour normaliser correctement, et où l'insertion dans l'équation de Klein Gordon montre que w = w(k) = Ö(m²+k²) qui décrit l'énergie d'une particule relativiste de masse µ et d'impulsion k.

 

Nous pouvons alors écrire les facteurs dans les exponentielles kx =  kµxµ  avec k0 =w.

 

Comme le champ de  K-G est écrit sous forme de somme de composantes indépendantes qui satisfont une équation d'onde, qui ont un mouvement harmonique, il est naturel de quantifier chaque mode de la même manière que nous le faisons habituellement pour un oscillateur harmonique. En insérant (B.35) dans (B.33) pour la densité de Hamiltonnien et en réalisant l'intégration sur tout le volume V, nous obtenons:

 (B-36)

 

nous avons temporairement réintroduit un facteur h pour montrer la similitude avec l'expression de l'énergie d'un oscillateur harmonique quantique. En fait si nous interprétons  ak et  a*k ® a+k comme le fait d'élever ou d'abaisser des opérateurs, remplissant les relations de commutation.

                                                                            (B.37)

 

alors j et  p vont satisfaire les relations de commutation (B.34). Si on recalcule le Hamiltonien en utilisant (B.37) on trouve

                                                                   (B.38)

 

[ voir à cet effet la démonstration de l'énergie d'un oscillateur harmonique linéaire à une dimension, par la méthode polynomiale (Sommerfeld): A partir du Hamiltonnien correspondant à l'oscillateur harmonique, on commence par chercher les solutions asymptotiques à l'infini (ondes planes), puis on cherche une fonction d'onde y (x) égale au produit de la solution asymptotique par une fonction f(x). On développe f(x)  en puissances de x et avec un peu de calcul on obtient une relation de récurrence  entre les coefficients. Pour que cela reste borné, on est amené à imposer des contraintes ( l= 2n +1) sur un des paramètres du problème  l= e / a  avec e = 2mE/h² et a² =  (mw0 /h , ce qui impose E =( n +1/2 )hn0  , où on voit apparaître une énergie minimum pour n =0. De cela on peut calculer la fonction d'onde complète ( polynômes d'Hermite …)…cf cours " notions de mécanique quantique INSA 4° année")]

 

D'habitude, on ignore la contribution constante issue de la somme des modes zéro (les termes en hw/2).  Il y a des cas où par contre, on devra en tenir compte comme nous le verrons plus loin.

Maintenant nous pouvons utiliser toute la machinerie que nous avons apprise en étudiant l'oscillateur harmonique dans le contexte le la mécanique quantique non relativiste. Nous définissons l'état de base, comme celui annihilé par tous les ak: c'est à dire

                                                                                    (B.39)

 

pour tout k. Un état normalisé avec  nk excitations dans le mode  k est donné par

                                                                    (B40)

Comme H est une somme d'oscillateurs harmoniques indépendants, les valeurs propres sont les produits directs.

                                        (B.41)

L'énorme espace de Hilbert défini par toutes ces bases s'appelle un espace de Fock.

 

Compléments sur l'espace de Fock

 

 

[ La quantification du champ électromagnétique est,, bien évidemment, un problème de la relativité quantique, puisque les photons se meuvent à la vitesse de la lumière.  L'idée essentielle est de traiter comme un opérateur quantique le quadrivecteur potentiel du champ électromagnétique.  La complémentarité s'applique au champ électromagnétique quantifié : la description en termes de particules (photons) correspond à la représentation en impulsions, la description ondulatoire (donnée du champ électrique et du champ magnétique en tout point d'espace-temps) correspond à la représentation en positions.

La principale nouveauté par rapport au cas non relativiste (que l'on appelle la première quantification) tient au fait qu'on ne peut plus se contenter de l'espace de Hilbert des états à une particule ou à un nombre fini de particules.  Pour décrire les états d'un champ électromagnétique, dans la représentation en impulsions, on a recours à un espace plus vaste que l'espace de Hilbert, l'espace de Fock, qui est une superposition infinie d'espaces de Hilbert, comprenant d'abord le vide, espace à zéro photon, puis l'espace à un photon, puis l'espace à deux photons, etc.

Dans cet espace de Fock, le champ électromagnétique est représenté par des opérateurs dits de création* et d'annihilation* de photon : l'opérateur ak+ crée un photon d'impulsion k, et l'opérateur ak annihile un photon d'impulsion k. L'opérateur de création fait passer de l'espace de Hilbert à n photons à celui à n + 1 photons ; et l'opérateur d'annihilation fait, à l'inverse, passer de l'espace de Hilbert à n photons à celui à n - 1 photons (sur le vide, l'action d'un opérateur d'annihilation donne zéro).  On peut définir un opérateur nombre de photons.  Tout état à n photons est représenté par un vecteur propre de l'opérateur nombre de photons avec la valeur propre n.

La dualité onde-corpuscule, étendue par de Broglie aux ondes de matière, conduit aussi au concept proprement quantique de champ de matière.  Un champ quantique de matière est un ensemble d'opérateurs, de création et d'annihilation de fermions.  Le concept d'espace de Fock peut être étendu aux fermions et aussi aux systèmes mixtes, comportant des fermions et des bosons.

En fait, le formalisme de l'espace de Fock que nous avons introduit à propos de la relativité quantique s'est révélé d'une très grande utilité pour décrire les systèmes quantiques statistiques (à grand nombre de particules), même en dehors des effets relativistes. (C'est d'ailleurs la raison pour laquelle on parle, à propos des particules indiscernables, des statistiques de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac.) L'espace de Fock permet en effet de décrire statistiquement un système quantique à grand nombre de particules en l'absence d'interaction.  En théorie statistique, il est très important qu'en l'absence d'interaction il n'y ait pas de corrélations.  Or, les effets quantiques induisent des corrélations même en l'absence d'interaction - les propriétés de symétrie ou d'antisymétrie par permutation de particules identiques impliquent l'existence de telles corrélations.  Avec le formalisme de l'espace de Fock, on met l'accent, non plus sur les particules qui sont dans tel ou tel état, mais sur les états qui sont occupés ou pas par des particules.  L'espace de Fock est un ensemble multiplement infini d'états, chaque état étant caractérisé par un nombre* d'occupation.  Si les particules sont des bosons, le nombre d'occupation est un entier arbitraire positif ou nul, si les particules sont des fermions, le nombre d'occupation vaut zéro ou un (à cause du principe d'exclusion de Pauli).  Si on a un système sans interaction, les états peuvent être remplis ou vidés des particules qui les occupent, indépendamment les uns des autres : dans l'espace de Fock, ainsi conçu, il n'y a pas de corrélation quantique en l'absence d'interaction.

 

Alors que l'espace de Hilbert constitue la généralisation quantique de l'espace de la mécanique classique, on peut avancer l'idée que l'espace de Fock est la généralisation quantique de l'espace temps de la relativité.  Les dimensions spatiales sont représentées par la complémentarité qui fonctionne dans chacun des espaces d Hilbert, tandis que la dimension temporelle serait liée au nombre de particules. ]

 

Opérateurs de création et d'annihilation

 

Pour donner une interprétation physique des états (B.41), nous notons

                        (B.42)

e(k) = hw(k).  Alors nous pouvons interpréter (B.41) comme un état à de multiple particules, chacune de masse m, où nk1, représente le nombre de celles d'impulsion kl, nk2, celles d'impulsion k2, etc.  C'est pourquoi les opérateurs d'élévation et d'abaissement, a+k et ak, sont habituellement appelés opérateurs de création et d'annihilation: a+k agissant sur l'état du vide crée une particule avec un vecteur d'onde k. Avec ce formalisme nous sommes capables de traiter des processus où des particules d'impulsion donnée sont créées ou détruites: des processus de collision par exemple.

 

B.3.2 Champ électromagnétique.

 

La méthode utilisée pour quantifier un champ scalaire est très générale. Nous pouvons l'utiliser, pratiquement en l'état pour quantifier le champ électromagnétique Aµ (r, t).  Nous avons vu en  (2.80) comment nous pouvons décrire le champ de potentiel quadrivectoriel classique dans la jauge de rayonnement k.A = 0, A0 = 0. Il ne contient que deux degrés de liberté pour un quadrivecteur impulsion donné kµ.  Nous avons introduit les vecteurs de polarisation em1,2 orthogonaux entre eux et à la direction de propagation k. Le développement en série de  Fourier de Aµ, peut alors être écrit

 

      (B.43)

Considérons les coefficients de Fourier comme les opérateurs d'annihilation et de création satisfaisant:

 

                                                              (B.44)

 

 

L'interprétation physique est alors que a+ik crée un photon de vecteur de polarisation  e1m de vecteur d'onde  k. Alors l'état de  Fock peut être construit de la même manière que pour le champ scalaire.

 

B.3.3 Champ scalaire chargé

 

Il apparaît que nous ne pouvons pas décrire des particules chargées avec un champ scalaire réel. Pour ce faire, nous devons utiliser un champ scalaire complexe. Les calculs sont très similaires cependant. Une densité de Lagrangien qui convient est donnée par:

 

                                                  (B.45)

 

Si on traite j et j* comme des champs indépendants, les équations de Euler Lagrange deviennent

                      (B.46)

(x  dénote xµ)  et

                                                                                (B.47)

 

Le développement en série de Fourier décrit maintenant un champ non hermitien, et prend la forme:

                                                                  (B.48)

 

Et des relations de commutation canoniques des champs classiques j et j* on déduit

                                                                     (B.49)

 

Il apparaît alors que nous avons deux types de "particules" de même masse µ,, crées par a+  et b+, respectivement.  Quand nous couplons l'électromagnétisme à ce champ scalaire complexe, on peut voir que les a-particules et les b-particules ont des signes opposés pour la charge électrique. Ce formalisme inclut donc ( et en fait prédit ) l'existence d'antiparticules.

Le couplage à l'électromagnétisme est réalisé le plus simplement en utilisant la contrainte de couplage minimum pµ -> pm - eAm, où conformément à la mécanique quantique pm -> im.

 

[ On retrouve quelque chose qui rappelle la transformation opérée quand nous avons introduit le champ de jauge électromagnétique. Pas étonnant puisqu'on parle du champ électromagnétique associé au  couplage de particules chargées, cf document joint en annexe 1].

 

 En Insérant ceci dans (B.45) et utilisant les développements en termes d'opérateurs de création et d'annihilation pour j et Aµ, nous trouvons des termes d'interaction de différents types.  Quand on les intègre sur l'espace temps certains disparaissent ( dû à la conservation de l'énergie et de l'impulsion), mais nous obtenons, par exemple, un terme qui peut détruire un photon, et créer un boson scalaire positif ou négatif ou vice versa. Ces termes comportent un facteur e. Des termes en carré de Aµ vient une contribution qui correspond à un couplage entre deux photons ou deux bosons j en un point (un terme appelé "mouette" ou de contact).  Il est proportionnel à e².  Ces termes de couplage fondamentaux sont la base pour déterminer les règles de Feynman de la théorie.  Pour l'électrodynamique quantique scalaire ( QED scalaire), nous avons les diagrammes décrits par la Fig.  B.3.

De plus les propagateurs que nous avons rencontrés au § 6.10 sont donnés par les inverses (dans l'espace de Fourier ) des formes quadratiques des champs. Elles sont donc les fonctions de Green pour la théorie.  Par exemple  l'équation de Klein Gordon :

 

                                                                  (B.50)

peut être inversée trivialement, car la transformée de Fourier de la fonction d est l'unité. Alors

 

                                                                    (B.51)

 

Ici, la partie imaginaire est ajoutée pour définir comment traiter le propagateur " dans sa couche de masse" c.a.d quand la condition " dans la couche de masse" k² = m²  est satisfaite. Il apparaît qu'ajouter une petite partie imaginaire permet d'arriver à un état correspondant à une particule libre d'énergie positive. Comme nous savons que le champ du photon dans la jauge de rayonnement ( ou de Feynman) obéit à une simple équation d'onde ƒAm = 0 (2.79), il correspond au propagateur

 

                                                                         (B.52)

 

Figure B.3: Diagramme de Feynman pour l' interaction entre photons et un champ chargé scalaire ( QED scalaire).  Le diagramme sur la gauche est proportionnel à e, et celui sur la droite est proportionnel à  e² .

 

 

B.4 Résumé

 

L'équation d' Euler Lagrange  pour un champ  f s'écrit:

Pour un champ scalaire la densité de  Lagrangien la plus simple invariante relativistement est:

 

L'équation du mouvement qui en découle est l'équation de  Klein Gordon

Une équation d'onde relativiste pour un champ scalaire ( sans spin) de masse µ.

 

La quantification est plus simple sur un développement en série de Fourier, où chaque mode avec un vecteur d'onde k contribue indépendamment au Hamiltonien:

Un champ scalaire électrique chargé est efficacement décrit par un champ complexe f avec la densité de Lagrangien

L'interprétation physique nécessite deux types de particules, chacune de masse µ.L'émergence de telles antiparticules est une caractéristique générique de la théorie quantique relativiste des champs.