Si l’espace-temps forme une variété, on dispose d’un
"atlas de cartes" (les coordonnées x ou x) et des "fonctions
de transition" x=f(x) d’une carte à
l’autre. L’espace tangent T en un point de la variété définit alors les
vecteurs (base ¶/¶xm)
ou tenseurs de type (0,1) qui se transforment comme ¶/¶xm = ¶xm/¶xm
¶/¶xm . Le
dual T* de l’espace tangent définit les formes monolinéaires (base dxm)
ou tenseurs de type (1,0). Les tenseurs de type (p,q) sont définis sur le
produit tensoriel (T)pÄ(T*)q , dont
(dxm)pÄ(¶/¶xm)q forment une base ( ƒ dénote le produit tensoriel).
Les
tenseurs définis en un point de la variété n’ont a priori aucun rapport avec ceux
définis en un autre point. En particulier la dérivée d’un tenseur n’est pas un
tenseur (elle n’a pas les bonnes lois de transformation sous changement de
coordonnées).
On définit alors la dérivée covariante Dm
d’un vecteur Vn
par :
Dm Vn = ¶m Vn + Gmnr Vr , en introduisant des connexions Gmnr avec
des propriétés de transformation ad hoc pour que Dm Vn soit
un tenseur.
Du coup, ces connexions ne sont
pas elles-mêmes des tenseurs. Avec ces connexions, on peut comparer des
tenseurs pris à des points différents, c’est à dire transporter un tenseur le
long d’un chemin. Le transport est parallèle si la dérivée covariante est nulle.
Une géodésique est une courbe
transportée parallèlement à elle-même, et elle est donc la courbe la plus
"droite" possible sur une variété. Si une notion de longueur existe
(donc une métrique, mais ce n'est pas une propriété obligatoire pour une
variété en général) la géodésique sera aussi la courbe la plus courte ( ou la
plus longue , en fait un extrémum).
Si on transporte parallèlement un
tenseur d'un point à un autre par deux chemins différents, on n'obtient pas en général le même tenseur à
l'arrivée. Sur une courbe fermée, un tenseur peut ainsi ne pas revenir
identique à lui-même après transport parallèle.
S’il est nul en tout point, la
variété est plate et il existe un système de coordonnées (les coordonnées
cartésiennes!) où les connexions sont nulles en tout point.
Si la connexion Gmnr n’est pas symétrique , on dit que la variété
possède aussi une torsion. Cartan
avait étudié une généralisation de la relativité avec torsion pour géométriser
l'électrodynamique avec la gravité.
Les équations
du mouvement étant symétriques, la torsion ne les modifie pas.
L’existence d’une métrique sur
une variété définit la notion de distance. La métrique g est un tenseur (2,0)
de composantes gmn
. Un changement de coordonnées change les composantes de la métrique, mais non
sa signature (le nombre de valeurs propres positives, négatives, ou nulles). Si
toutes les valeurs propres sont positives, on dit que la variété est
riemannienne, si certaines sont négatives, la variété est pseudo -riemannienne
ou Lorentzienne comme l’espace-temps. Une métrique permet de relier vecteurs Vm
et formes monolinéaires
car les {gmnVm}
sont les composantes d’une forme monolinéaire
(notée Vn
bien entendu) qui définit le produit scalaire de 2 vecteurs g(V,V’) = gmn Vm V’n = Vn V’n.
et on retrouve l’équation de
mouvement d’une particule dans un champ de gravitation si on choisit pour connexion les symboles de Christoffel (qui ont
les propriétés de transformations requises). La courbe la plus courte est alors
aussi la plus droite.
La dérivée covariante de la métrique est
automatiquement nulle et le produit scalaire invariant par transport parallèle.
Les composantes de la métrique
dépendent du système de coordonnées, mais il existe des fonctions de g qui n’en
dépendent pas et sont intrinsèques à la variété. A 1 dimension, il n’y en a
pas : toutes les variétés sont plates. A 2 dimensions, Gauss a démontré
qu’il n’existe qu’une fonction, la courbure gaussienne K qui permet de classer
les variétés : quand la courbure est constante, cela se limite à l’espace
de Gauss-Bolyai-Lobatchevski (K = - 1/a2) qui n’est pas un sous-espace de
l’espace euclidien, au plan (K = 0) et aux sphères (K = 1/a2).
On ne peut construire aucun
tenseur nouveau à partir de g et de ses dérivées premières (puisque celles-ci
s’annulent dans un repère inertiel). Il n’existe qu’un seul tenseur construit à
partir de g et de ses dérivées premières et secondes qui soit linéaire dans ces
dernières (ce qui est nécessaire pour la physique), le
L’annulation du tenseur de
courbure en tout point est la condition nécessaire et suffisante pour que
l’espace soit plat . Ce tenseur mesure d’ailleurs la déviation des géodésiques.
S’annulant en espace plat, on peut l’ajouter multipliant n’importe quel
tenseur, dans une expression correcte en l’absence de gravitation, par exemple
le mouvement d’une particule libre. C’est une source d'ambiguïté (quelle est la
"bonne" généralisation gravitationnelle?) dont on se débarrasse en
notant que le tenseur de courbure possède une dérivée de plus que la connexion G, et
que les termes où il figure sont a priori d’ordre devant ceux où figure G.
Par contraction, le tenseur de
Riemann donne le tenseur de Ricci Rns= Rmnms = ¶lGnls - Gnlr .Gsrl
puis le scalaire de courbure
R = gns Rns.
Le tenseur de Riemann possède de nombreuses symétries. En utilisant la forme
complètement covariante Rmnrs = gmlRlnrs on a :
Rmnrs = Rrsmn, Rmnrs = - Rnmrs = - Rmnsr = Rnmsr et Rmnrs + Rmsnr + Rmrsn = 0
Les 2 premières impliquent que le
tenseur de Ricci est symétrique, et qu’il est l’unique tenseur de rang 2 que
l’on peut construire à partir du tenseur de Riemann, les 2 dernières que le
scalaire de courbure R est unique. En raison de ces symétries, le tenseur de
Riemann n’a que n2(n2-1)/12 composantes indépendantes en n dimensions. A 2
dimensions, la seule composante indépendante s’exprime donc nécessairement en
fonction du scalaire R. De fait, Rmnrs = R [gμρgνσ-gμσgνρ]/2
. En 3 dimensions, il y a 6 composantes indépendantes que l’on peut exprimer en
fonction des 6 composantes indépendantes du tenseur de Ricci. En 4 dimensions,
il y a 20 composantes indépendantes, les 10 composantes du tenseur de Ricci ne
suffisent plus à absorber l’information, et le reliquat définit le tenseur de Weyl
(symboliquement, Riemann = R*g*g + Ricci*g + Weyl).Ce n’est pas
tout
Dδ
Rmnrs + Dσ Rmnδr + DρRmnsδ = 0
Celle-ci joue un rôle essentiel
dans la théorie de la relativité générale. Par contraction, elle devient :
Dμ [ Rμν - gμν .R/2 ] = 0
ce qui suggère directement la forme des équations d'Einstein
de la gravitation :
Rμν-gμν.R/2=
- 8p.G.Tμν , en présence de matière,car DμTμν
= 0 (conservation de l'énergie-impulsion). Plus profondément, l'identité
de Bianchi est reliée à l'invariance des équations par changement de
coordonnées.
On s’intéresse souvent à des
espaces-temps possédant certaines symétries (sphériques pour Schwarzschild,
espace homogène et isotrope pour Friedmann…). Dans un changement de coordonnées
x ®
x’, la métrique se transforme suivant gμν(x) = (¶x'r/¶xm
)(¶x's/¶xn
).g’ρσ(x’)
.
Si sa forme fonctionnelle ne
change pas, c’est à dire que g’ρσ(x’) = gρσ(x)
pour tout x, on dit qu’on a une isométrie. Pour une transformation
infinitésimale x’ = x + ex, cela se traduit par Dmxn + Dnxm = 0 (équation de Killing).
Inversement, il existe des
isométries s’il existe des solutions de l’équation de Killing (les vecteurs de Killing xm).
On montre que sur une variété de dimension n il existe n(n+1)/2
isométries au maximum.
Si la variété est isotrope en un
point, on peut permuter tous les vecteurs de base de l’espace tangent en ce
point : en dimension n, il y a n(n-1)/2
permutations (qui sont des isométries). Le tenseur de Riemann prend
alors une forme particulièrement simple : Rmnrs = K(gμρgνσ-gμσgνρ ) .
La courbure gaussienne K peut
varier d’un point à un autre, tout comme gmn. Si K º 0 (espace plat), les
isométries sont des rotations (espace euclidien) ou des transformations de
Lorentz (espace de Minkowski).
Si la variété est homogène, il
existe des isométries transportant la métrique d’un point à un autre : en
dimension n, il y a n vecteurs de Killing correspondants. Si l’espace
est plat, ces isométries sont de simples translations. Si la variété est
homogène et isotrope, on totalise n(n+1)/2
isométries, la symétrie est maximale et K est constant sur la
variété. Dans ce cas, le tenseur de Ricci s’écrit Rmn = K(n-1)gmn
et le scalaire R = Kn(n-1). La
valeur de n et de K (et la signature de la métrique) déterminent entièrement la
métrique.
Mais, en général, on ne souhaite
pas que l’espace-temps soit maximalement symétrique, mais seulement qu’un
sous-espace le soit. Séparons les coordonnées xm
en {ui,va}, où les indices i = 1…m décrivent
ce sous-espace, et les indices a = m+1…n les dimensions complémentaires.
On démontre alors que la métrique
peut s’écrire sous la forme ds² = gab(v)
dvadvb + f(v) gij(u) duiduj, où la métrique gij
a la forme déterminée par la symétrie du sous-espace, qui dans tous les cas
physiques est un espace (par opposition à un espace-temps).
Par exemple, pour un espace-temps
à 4 dimensions possédant un sous-espace à 2 dimensions de symétrie sphérique,
il y a 2 coordonnées v (appelées en général t et r) et 2
coordonnées u (qui sont sinq.cosj et sinqsinj).
Pour une
courbure K positive, la métrique du sous-espace est : dij +( Kuiuj./1- Kuiuj.)
La forme générale du ds² est
alors :
ds² = gtt(t,r).
dt² + 2 gtr(t,r). dt.dr + grr(t,r). dr² - f(t,r) ( dq² + sin²q .dj² )
où gab(t,r)
est une matrice 2 x 2 avec une valeur propre positive
et une négative, et f(t,r) une
fonction quelconque positive.
Par changement de variable, on
peut la ramener à la forme :
ds² = A(t,r) dt² - B(t,r) dr² - r² ( dq²
+ sin²q .dj² )
Cette forme du ds² permet de calculer la métrique statique de
Schwarzschild autour d’une masse ponctuelle. Elle sert aussi à calculer la métrique
autour d’une distribution de masse variable mais sphérique.
En dehors de cette distribution,
on retrouve d’ailleurs la métrique statique de Schwarzschild (théorème de
Birkhoff, analogue au théorème de Newton qui permet de calculer le champ d’une
distribution sphérique comme si toute la masse était concentrée au centre).
Si le
sous-espace de symétrie maximale est l’espace à 3 dimensions lui-même, il n’y a
qu’une coordonnée v et 3 coordonnées u (vecteur u), et le ds² prend la forme :
ds² = g(v) dv² -
f(v)[ du² + K (u.du)²/1-Ku²)]
où f et
g sont des fonctions positives de v. La forme classique de Robertson et Walker
est obtenue par un astucieux changement de variables t = òdv/Ög(v) , u1 = r sinq cosj, u2 = r sinq sinj et u3 = r cosq :
ds² =
dt² - a²(t) [( dr²/1-kr²) +r² ( dq² + sin²q.dj²)]
La fonction arbitraire a(t)Öf(v)
s’appelle le paramètre d’échelle , et
le paramètre k ne prend que les valeurs 1, 0 ou -1. La courbure
spatiale K3 = k/a2(t) s’annule pour k = 0, mais pas la courbure spatio-temporelle K4 = (k+2)/2a2 .
L’intérêt de ces divers métriques
est qu’elles ne reposent que sur des hypothèses d’homogénéité et d’isotropie de
l’espace, et sont totalement indépendantes des équations d’Einstein de la
gravitation. Elles restent donc valables dans d’autres théories métriques de la
gravitation que la relativité générale.
Variété : C’est un des
concepts fondamentaux de la physique et des mathématiques.
La notion de Variété procède de
l’idée que l’espace peut être courbe et avoir une topologie complexe, mais que
localement , il peut être assimilé à l’espace Euclien, caractérisé par ses
n-tuples Rn
Champ de vecteurs sur la variété qui caractérisent les
isométries de la variété.Pour la métrique, ils caractérisent son invariance par
transformation par ce champ de vecteurs.
Ils impliquent la conservation de quantités comme
l’impulsion sur les géodésiques de particules en mouvement
« libre ».. Le vecteur tangent à la géodésique est un vecteur de
Killing.
Un espace de symétrie maximum est celui qui contient le
maximum de vecteurs de Killing =< n(n+1)/2